Интеграл (x^4)*cos(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   4          
 |  x *cos(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x^{4} \cos{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 4 x^{3}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = 4 x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 12 x^{2}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = - 12 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - 24 x$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = - 24 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = -24$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

5. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 24 \cos{\left (x \right )}\, dx = 24 \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $24 \sin{\left (x \right )}$

6. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x^{4} \sin{\left (x \right )} + 4 x^{3} \cos{\left (x \right )} - 12 x^{2} \sin{\left (x \right )} - 24 x \cos{\left (x \right )} + 24 \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x^{4} \sin{\left (x \right )} + 4 x^{3} \cos{\left (x \right )} - 12 x^{2} \sin{\left (x \right )} - 24 x \cos{\left (x \right )} + 24 \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                      
  /                                      
 |                                       
 |   4                                   
 |  x *cos(x) dx = -20*cos(1) + 13*sin(1)
 |                                       
/                                        
0                                        

$$13\,\sin 1-20\,\cos 1$$

Численный ответ

0.13307668513986

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                   
 |                                                                                    
 |  4                              4                            2             3       
 | x *cos(x) dx = C + 24*sin(x) + x *sin(x) - 24*x*cos(x) - 12*x *sin(x) + 4*x *cos(x)
 |                                                                                    
/                                                                                     

$$\left(x^4-12\,x^2+24\right)\,\sin x+\left(4\,x^3-24\,x\right)\, \cos x$$