Интеграл x^2/e^x (dx)

Вы ввели

  1      
  /      
 |       
 |   2   
 |  x    
 |  -- dx
 |   x   
 |  e    
 |       
/        
0        

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{e^{x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{e^{x}} = x^{2} e^{- x}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{2} e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 2 u$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 2$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = - 2 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = -2$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 e^{- x}\, dx = 2 \int e^{- x}\, dx$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 e^{- x}$

3. Теперь упростить:

   $- \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{- x}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       -1
2 - 5*e  

$$2 - \frac{5}{e}$$

=

=

       -1
2 - 5*e  

$$2 - \frac{5}{e}$$

Численный ответ

0.160602794142788

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |  2                             
 | x           /      2      \  -x
 | -- dx = C + \-2 - x  - 2*x/*e  
 |  x                             
 | e                              
 |                                
/                                 

$$\int \frac{x^{2}}{e^{x}}\, dx = C + \left(- x^{2} - 2 x - 2\right) e^{- x}$$

График