Интеграл x^2/(1-x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     2    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  1 - x   
 |          
/           
0           

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1 - x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{1 - x} = - x - 1 - \frac{1}{x - 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

      Результат есть: $- \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{1 - x} = - \frac{x^{2}}{x - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x - 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

oo + pi*I

$$\infty + i \pi$$

=

=

oo + pi*I

$$\infty + i \pi$$

Численный ответ

42.5909567862195

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 |    2                              2
 |   x                              x 
 | ----- dx = C - x - log(-1 + x) - --
 | 1 - x                            2 
 |                                    
/                                     

$$\int \frac{x^{2}}{1 - x}\, dx = C - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left(x - 1 \right)}$$