Интеграл (x^2)/(x+1) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     2    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  x + 1   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int -1\, dx = - x$

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (x + 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |     2                    
 |    x                     
 |  ----- dx = -1/2 + log(2)
 |  x + 1                   
 |                          
/                           
0                           

$${{2\,\log 2-1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.193147180559945

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                                   
 |    2            2                 
 |   x            x                  
 | ----- dx = C + -- - x + log(1 + x)
 | x + 1          2                  
 |                                   
/                                    

$$\log \left(x+1\right)+{{x^2-2\,x}\over{2}}$$