Интеграл x^2/(x^2-6*x+10) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |         2        
 |        x         
 |  ------------- dx
 |   2              
 |  x  - 6*x + 10   
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} - 6 x + 10}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{x^{2} - 6 x + 10} = \frac{6 x - 10}{x^{2} - 6 x + 10} + 1$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{6 x - 10}{x^{2} - 6 x + 10}\, dx = 2 \int \frac{3 x - 5}{x^{2} - 6 x + 10}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{3 x - 5}{x^{2} - 6 x + 10} = \frac{3 x}{x^{2} - 6 x + 10} - \frac{5}{x^{2} - 6 x + 10}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3 x}{x^{2} - 6 x + 10}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{2} - 6 x + 10}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 6 x + 10 \right )} + 3 \operatorname{atan}{\left (x - 3 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3}{2} \log{\left (x^{2} - 6 x + 10 \right )} + 9 \operatorname{atan}{\left (x - 3 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{5}{x^{2} - 6 x + 10}\, dx = - 5 \int \frac{1}{x^{2} - 6 x + 10}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\operatorname{atan}{\left (x - 3 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 5 \operatorname{atan}{\left (x - 3 \right )}$

         Результат есть: $\frac{3}{2} \log{\left (x^{2} - 6 x + 10 \right )} + 4 \operatorname{atan}{\left (x - 3 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $3 \log{\left (x^{2} - 6 x + 10 \right )} + 8 \operatorname{atan}{\left (x - 3 \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $x + 3 \log{\left (x^{2} - 6 x + 10 \right )} + 8 \operatorname{atan}{\left (x - 3 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + 3 \log{\left (x^{2} - 6 x + 10 \right )} + 8 \operatorname{atan}{\left (x - 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + 3 \log{\left (x^{2} - 6 x + 10 \right )} + 8 \operatorname{atan}{\left (x - 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                    
  /                                                                    
 |                                                                     
 |         2                                                           
 |        x                                                            
 |  ------------- dx = 1 - 8*atan(2) - 3*log(10) + 3*log(5) + 8*atan(3)
 |   2                                                                 
 |  x  - 6*x + 10                                                      
 |                                                                     
/                                                                      
0                                                                      

$$-3\,\log 10+3\,\log 5+8\,\arctan 3-8\,\arctan 2+1$$

Численный ответ

0.0557348951534755

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                
 |                                                                 
 |        2                                                        
 |       x                         /      2      \                 
 | ------------- dx = C + x + 3*log\10 + x  - 6*x/ + 8*atan(-3 + x)
 |  2                                                              
 | x  - 6*x + 10                                                   
 |                                                                 
/                                                                  

$$3\,\log \left(x^2-6\,x+10\right)+8\,\arctan \left({{2\,x-6}\over{2 }}\right)+x$$