Интеграл (x^2+3)^5 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |          5   
 |  / 2    \    
 |  \x  + 3/  dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \left(x^{2} + 3\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(x^{2} + 3\right)^{5} = x^{10} + 15 x^{8} + 90 x^{6} + 270 x^{4} + 405 x^{2} + 243$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 15 x^{8}\, dx = 15 \int x^{8}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{9}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 90 x^{6}\, dx = 90 \int x^{6}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{90 x^{7}}{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 270 x^{4}\, dx = 270 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $54 x^{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 405 x^{2}\, dx = 405 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $135 x^{3}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 243\, dx = 243 x$

   Результат есть: $\frac{x^{11}}{11} + \frac{5 x^{9}}{3} + \frac{90 x^{7}}{7} + 54 x^{5} + 135 x^{3} + 243 x$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x}{231} \left(21 x^{10} + 385 x^{8} + 2970 x^{6} + 12474 x^{4} + 31185 x^{2} + 56133\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{231} \left(21 x^{10} + 385 x^{8} + 2970 x^{6} + 12474 x^{4} + 31185 x^{2} + 56133\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{231} \left(21 x^{10} + 385 x^{8} + 2970 x^{6} + 12474 x^{4} + 31185 x^{2} + 56133\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |          5            
 |  / 2    \       103168
 |  \x  + 3/  dx = ------
 |                  231  
/                        
0                        

$${{103168}\over{231}}$$

Численный ответ

446.614718614719

Ответ (Неопределённый)

  /                                                              
 |                                                               
 |         5                                    11      9       7
 | / 2    \               5        3           x     5*x    90*x 
 | \x  + 3/  dx = C + 54*x  + 135*x  + 243*x + --- + ---- + -----
 |                                              11    3       7  
/                                                                

$${{x^{11}}\over{11}}+{{5\,x^9}\over{3}}+{{90\,x^7}\over{7}}+54\,x^5+ 135\,x^3+243\,x$$