Интеграл x^2*sqrt(4-x^2) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |        ________   
 |   2   /      2    
 |  x *\/  4 - x   dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4}\, dx$$

Подробное решение

TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=-2*cos(4*_theta) + 2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-2*cos(4*_theta), symbol=_theta), ConstantRule(constant=2, context=2, symbol=_theta)], context=-2*cos(4*_theta) + 2, symbol=_theta), restriction=And(x < 2, x > -2), context=x**2*sqrt(-x**2 + 4), symbol=x)

1. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 4} \left(x^{2} - 2\right) + 2 \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 4} \left(x^{2} - 2\right) + 2 \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x}{4} \sqrt{- x^{2} + 4} \left(x^{2} - 2\right) + 2 \operatorname{asin}{\left (\frac{x}{2} \right )} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |        ________          ___     
 |   2   /      2         \/ 3    pi
 |  x *\/  4 - x   dx = - ----- + --
 |                          4     3 
/                                   
0                                   

$${{4\,\pi-3^{{{3}\over{2}}}}\over{12}}$$

Численный ответ

0.614184849304378

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                     
 |                         //                 ________ /     2\                        \
 |       ________          ||                /      2  |    x |                        |
 |  2   /      2           ||            x*\/  4 - x  *|1 - --|                        |
 | x *\/  4 - x   dx = C + |<      /x\                 \    2 /                        |
 |                         ||2*asin|-| - ----------------------  for And(x > -2, x < 2)|
/                          ||      \2/             2                                   |
                           \\                                                          /

$$-{{x\,\left(4-x^2\right)^{{{3}\over{2}}}}\over{4}}+{{x\,\sqrt{4-x^2 }}\over{2}}+2\,\arcsin \left({{x}\over{2}}\right)$$