Интеграл x^2*(sqrt(9-x^2)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                  
      /                  
     |                   
     |        ________   
     |   2   /      2    
     |  x *\/  9 - x   dx
     |                   
    /                    
    0                    
    01x29x2dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      x29x2=x4+9x29x2x^{2} \sqrt{9 - x^{2}} = \frac{- x^{4} + 9 x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}}

      SqrtQuadraticDenomRule(a=9, b=0, c=-1, coeffs=[-1, 0, 9, 0, 0], context=(-x**4 + 9*x**2)/sqrt(9 - x**2), symbol=x)

    2. Теперь упростить:

      x9x2(2x29)8+81asin(x3)8\frac{x \sqrt{9 - x^{2}} \cdot \left(2 x^{2} - 9\right)}{8} + \frac{81 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{8}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x9x2(2x29)8+81asin(x3)8+constant\frac{x \sqrt{9 - x^{2}} \cdot \left(2 x^{2} - 9\right)}{8} + \frac{81 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{8}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x9x2(2x29)8+81asin(x3)8+constant\frac{x \sqrt{9 - x^{2}} \cdot \left(2 x^{2} - 9\right)}{8} + \frac{81 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
    Ответ [src]
      1                                                                                                                                                 
      /                                                                                                                                                 
     |                                                                                                                                                  
     |  /                          2                2                                            6                 4                4                   
     |  |     81*I           81*I*x           81*I*x                   27*I                   I*x             5*I*x           27*I*x            2       
     |  |-------------- - -------------- - -------------- - -------------------------- - -------------- + -------------- + --------------  for x  > 9   
     |  |     _________              3/2        _________         _______     ________              3/2        _________              3/2               
     |  |    /       2      /      2\          /       2         /     x     /      x      /      2\          /       2      /      2\                  
     |  |8*\/  -9 + x     8*\-9 + x /      8*\/  -9 + x     8*  /  1 + - *  /  -1 + -    4*\-9 + x /      4*\/  -9 + x     8*\-9 + x /                  
     |  |                                                     \/       3  \/        3                                                                   
     |  |                                                                                                                                               
     |  <                                                   2               4              6                4               2                         dx
     |  |               81               27             81*x             5*x              x             27*x            81*x                            
     |  |       - ------------- + --------------- - ------------- - ------------- - ------------- + ------------- + -------------          otherwise    
     |  |              ________          ________             3/2        ________             3/2             3/2        ________                       
     |  |             /      2          /      2      /     2\          /      2      /     2\        /     2\          /      2                        
     |  |         8*\/  9 - x          /      x     8*\9 - x /      4*\/  9 - x     4*\9 - x /      8*\9 - x /      8*\/  9 - x                         
     |  |                         8*  /   1 - --                                                                                                        
     |  |                           \/        9                                                                                                         
     |  \                                                                                                                                               
     |                                                                                                                                                  
    /                                                                                                                                                   
    0                                                                                                                                                   
    01{ix64(x29)32+5ix44x29+27ix48(x29)3281ix28x2981ix28(x29)32+81i8x2927i8x31x3+1forx2>9x64(9x2)325x449x2+27x48(9x2)32+81x289x281x28(9x2)328189x2+2781x29otherwisedx\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} - \frac{i x^{6}}{4 \left(x^{2} - 9\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{5 i x^{4}}{4 \sqrt{x^{2} - 9}} + \frac{27 i x^{4}}{8 \left(x^{2} - 9\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{81 i x^{2}}{8 \sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{81 i x^{2}}{8 \left(x^{2} - 9\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{81 i}{8 \sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{27 i}{8 \sqrt{\frac{x}{3} - 1} \sqrt{\frac{x}{3} + 1}} & \text{for}\: x^{2} > 9 \\- \frac{x^{6}}{4 \left(9 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{5 x^{4}}{4 \sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{27 x^{4}}{8 \left(9 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{81 x^{2}}{8 \sqrt{9 - x^{2}}} - \frac{81 x^{2}}{8 \left(9 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{81}{8 \sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{27}{8 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dx
    =
    =
      1                                                                                                                                                 
      /                                                                                                                                                 
     |                                                                                                                                                  
     |  /                          2                2                                            6                 4                4                   
     |  |     81*I           81*I*x           81*I*x                   27*I                   I*x             5*I*x           27*I*x            2       
     |  |-------------- - -------------- - -------------- - -------------------------- - -------------- + -------------- + --------------  for x  > 9   
     |  |     _________              3/2        _________         _______     ________              3/2        _________              3/2               
     |  |    /       2      /      2\          /       2         /     x     /      x      /      2\          /       2      /      2\                  
     |  |8*\/  -9 + x     8*\-9 + x /      8*\/  -9 + x     8*  /  1 + - *  /  -1 + -    4*\-9 + x /      4*\/  -9 + x     8*\-9 + x /                  
     |  |                                                     \/       3  \/        3                                                                   
     |  |                                                                                                                                               
     |  <                                                   2               4              6                4               2                         dx
     |  |               81               27             81*x             5*x              x             27*x            81*x                            
     |  |       - ------------- + --------------- - ------------- - ------------- - ------------- + ------------- + -------------          otherwise    
     |  |              ________          ________             3/2        ________             3/2             3/2        ________                       
     |  |             /      2          /      2      /     2\          /      2      /     2\        /     2\          /      2                        
     |  |         8*\/  9 - x          /      x     8*\9 - x /      4*\/  9 - x     4*\9 - x /      8*\9 - x /      8*\/  9 - x                         
     |  |                         8*  /   1 - --                                                                                                        
     |  |                           \/        9                                                                                                         
     |  \                                                                                                                                               
     |                                                                                                                                                  
    /                                                                                                                                                   
    0                                                                                                                                                   
    01{ix64(x29)32+5ix44x29+27ix48(x29)3281ix28x2981ix28(x29)32+81i8x2927i8x31x3+1forx2>9x64(9x2)325x449x2+27x48(9x2)32+81x289x281x28(9x2)328189x2+2781x29otherwisedx\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} - \frac{i x^{6}}{4 \left(x^{2} - 9\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{5 i x^{4}}{4 \sqrt{x^{2} - 9}} + \frac{27 i x^{4}}{8 \left(x^{2} - 9\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{81 i x^{2}}{8 \sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{81 i x^{2}}{8 \left(x^{2} - 9\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{81 i}{8 \sqrt{x^{2} - 9}} - \frac{27 i}{8 \sqrt{\frac{x}{3} - 1} \sqrt{\frac{x}{3} + 1}} & \text{for}\: x^{2} > 9 \\- \frac{x^{6}}{4 \left(9 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{5 x^{4}}{4 \sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{27 x^{4}}{8 \left(9 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{81 x^{2}}{8 \sqrt{9 - x^{2}}} - \frac{81 x^{2}}{8 \left(9 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{81}{8 \sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{27}{8 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dx
    Численный ответ [src]
    0.965974974070068
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                             
     |                                /x\                           
     |       ________          81*asin|-|      ________ /         3\
     |  2   /      2                  \3/     /      2  |  9*x   x |
     | x *\/  9 - x   dx = C + ---------- + \/  9 - x  *|- --- + --|
     |                             8                    \   8    4 /
    /                                                               
    x29x2dx=C+9x2(x349x8)+81asin(x3)8\int x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}\, dx = C + \sqrt{9 - x^{2}} \left(\frac{x^{3}}{4} - \frac{9 x}{8}\right) + \frac{81 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{8}
    График
    Интеграл x^2*(sqrt(9-x^2)) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/4/68/db5f5492e60c88980852990b5d214.png