Интеграл x^n-1 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  / n    \   
 |  \x  - 1/ dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \left(x^{n} - 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{n}\, dx = \begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \left(\left(-1\right) 1\right)\, dx = - x$

   Результат есть: $- x + \begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

2. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x \left(- n + x^{n} - 1\right)}{n + 1} & \text{for}\: n > -1 \vee n < -1 \\- x + \log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x \left(- n + x^{n} - 1\right)}{n + 1} & \text{for}\: n > -1 \vee n < -1 \\- x + \log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x \left(- n + x^{n} - 1\right)}{n + 1} & \text{for}\: n > -1 \vee n < -1 \\- x + \log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

     //         1 + n                                   \
     ||  1     0                                        |
     ||----- - ------  for And(n > -oo, n < oo, n != -1)|
-1 + |<1 + n   1 + n                                    |
     ||                                                 |
     ||      oo                    otherwise            |
     \\                                                 /

$$\begin{cases} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\infty & \text{otherwise} \end{cases} - 1$$

=

=

     //         1 + n                                   \
     ||  1     0                                        |
     ||----- - ------  for And(n > -oo, n < oo, n != -1)|
-1 + |<1 + n   1 + n                                    |
     ||                                                 |
     ||      oo                    otherwise            |
     \\                                                 /

$$\begin{cases} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\infty & \text{otherwise} \end{cases} - 1$$

Ответ (Неопределённый)

  /                      // 1 + n             \
 |                       ||x                  |
 | / n    \              ||------  for n != -1|
 | \x  - 1/ dx = C - x + |<1 + n              |
 |                       ||                   |
/                        ||log(x)   otherwise |
                         \\                   /

$$\int \left(x^{n} - 1\right)\, dx = C - x + \begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}$$