Интеграл x^5*cos(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |   5          
     |  x *cos(x) dx
     |              
    /               
    0               
    01x5cos(x)dx\int\limits_{0}^{1} x^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=x5u{\left(x \right)} = x^{5} и пусть dv(x)=cos(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Затем du(x)=5x4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5 x^{4}.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

        cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=5x4u{\left(x \right)} = 5 x^{4} и пусть dv(x)=sin(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Затем du(x)=20x3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 20 x^{3}.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

        sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Теперь решаем под-интеграл.

    3. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=20x3u{\left(x \right)} = - 20 x^{3} и пусть dv(x)=cos(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Затем du(x)=60x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 60 x^{2}.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

        cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Теперь решаем под-интеграл.

    4. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=60x2u{\left(x \right)} = - 60 x^{2} и пусть dv(x)=sin(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Затем du(x)=120x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 120 x.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

        sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Теперь решаем под-интеграл.

    5. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=120xu{\left(x \right)} = 120 x и пусть dv(x)=cos(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Затем du(x)=120\operatorname{du}{\left(x \right)} = 120.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

        cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Теперь решаем под-интеграл.

    6. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      120sin(x)dx=120sin(x)dx\int 120 \sin{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

        sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Таким образом, результат будет: 120cos(x)- 120 \cos{\left(x \right)}

    7. Добавляем постоянную интегрирования:

      x5sin(x)+5x4cos(x)20x3sin(x)60x2cos(x)+120xsin(x)+120cos(x)+constantx^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x5sin(x)+5x4cos(x)20x3sin(x)60x2cos(x)+120xsin(x)+120cos(x)+constantx^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900200
    Ответ [src]
    -120 + 65*cos(1) + 101*sin(1)
    120+65cos(1)+101sin(1)-120 + 65 \cos{\left(1 \right)} + 101 \sin{\left(1 \right)}
    =
    =
    -120 + 65*cos(1) + 101*sin(1)
    120+65cos(1)+101sin(1)-120 + 65 \cos{\left(1 \right)} + 101 \sin{\left(1 \right)}
    Численный ответ [src]
    0.108219347026629
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                                                    
     |                                                                                                     
     |  5                               5              2              3             4                      
     | x *cos(x) dx = C + 120*cos(x) + x *sin(x) - 60*x *cos(x) - 20*x *sin(x) + 5*x *cos(x) + 120*x*sin(x)
     |                                                                                                     
    /                                                                                                      
    x5cos(x)dx=C+x5sin(x)+5x4cos(x)20x3sin(x)60x2cos(x)+120xsin(x)+120cos(x)\int x^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx = C + x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}
    График
    Интеграл x^5*cos(x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/a/78/aa1cfedbfc8692fdaf846f4e069d9.png