Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл x^5*sin(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
  /             
 |              
 |   5          
 |  x *sin(x) dx
 |              
/               
0
    ∫01x5sin⁡(x) dx\int_{0}^{1} x^{5} \sin{\left (x \right )}\, dx
    Подробное решение

    1. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=x5u{\left (x \right )} = x^{5} и пусть dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} dx.

      Затем du⁡(x)=5x4\operatorname{du}{\left (x \right )} = 5 x^{4} dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=−5x4u{\left (x \right )} = - 5 x^{4} и пусть dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} dx.

      Затем du⁡(x)=−20x3\operatorname{du}{\left (x \right )} = - 20 x^{3} dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}

      Теперь решаем под-интеграл.

    3. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=−20x3u{\left (x \right )} = - 20 x^{3} и пусть dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} dx.

      Затем du⁡(x)=−60x2\operatorname{du}{\left (x \right )} = - 60 x^{2} dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}

      Теперь решаем под-интеграл.

    4. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=60x2u{\left (x \right )} = 60 x^{2} и пусть dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} dx.

      Затем du⁡(x)=120x\operatorname{du}{\left (x \right )} = 120 x dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}

      Теперь решаем под-интеграл.

    5. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=120xu{\left (x \right )} = 120 x и пусть dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} dx.

      Затем du⁡(x)=120\operatorname{du}{\left (x \right )} = 120 dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}

      Теперь решаем под-интеграл.

    6. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫−120cos⁡(x) dx=−120∫cos⁡(x) dx\int - 120 \cos{\left (x \right )}\, dx = - 120 \int \cos{\left (x \right )}\, dx

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}

      Таким образом, результат будет: −120sin⁡(x)- 120 \sin{\left (x \right )}

    7. Добавляем постоянную интегрирования:

      −x5cos⁡(x)+5x4sin⁡(x)+20x3cos⁡(x)−60x2sin⁡(x)−120xcos⁡(x)+120sin⁡(x)+constant- x^{5} \cos{\left (x \right )} + 5 x^{4} \sin{\left (x \right )} + 20 x^{3} \cos{\left (x \right )} - 60 x^{2} \sin{\left (x \right )} - 120 x \cos{\left (x \right )} + 120 \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    −x5cos⁡(x)+5x4sin⁡(x)+20x3cos⁡(x)−60x2sin⁡(x)−120xcos⁡(x)+120sin⁡(x)+constant- x^{5} \cos{\left (x \right )} + 5 x^{4} \sin{\left (x \right )} + 20 x^{3} \cos{\left (x \right )} - 60 x^{2} \sin{\left (x \right )} - 120 x \cos{\left (x \right )} + 120 \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-100000100000
    Ответ [src]
      1                                       
  /                                       
 |                                        
 |   5                                    
 |  x *sin(x) dx = -101*cos(1) + 65*sin(1)
 |                                        
/                                         
0
    65 sin⁡1−101 cos⁡165\,\sin 1-101\,\cos 1
    Численный ответ [src]
    0.125081119831161
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                                                    
 |                                                                                                     
 |  5                               5                             2             4              3       
 | x *sin(x) dx = C + 120*sin(x) - x *cos(x) - 120*x*cos(x) - 60*x *sin(x) + 5*x *sin(x) + 20*x *cos(x)
 |                                                                                                     
/
    (5 x4−60 x2+120) sin⁡x+(−x5+20 x3−120 x) cos⁡x\left(5\,x^4-60\,x^2+120\right)\,\sin x+\left(-x^5+20\,x^3-120\,x \right)\,\cos x
    Упростить