Интеграл x^3/(3+x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     3    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  3 + x   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x + 3}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{3}}{x + 3} = x^{2} - 3 x + 9 - \frac{27}{x + 3}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 3 x\, dx = - 3 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 9\, dx = 9 x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{27}{x + 3}\, dx = - 27 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

      1. пусть $u = x + 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 3 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 27 \log{\left (x + 3 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x - 27 \log{\left (x + 3 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x - 27 \log{\left (x + 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x - 27 \log{\left (x + 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                        
  /                                        
 |                                         
 |     3                                   
 |    x                                    
 |  ----- dx = 47/6 - 27*log(4) + 27*log(3)
 |  3 + x                                  
 |                                         
/                                          
0                                          

$$27\,\log 3-{{162\,\log 4-47}\over{6}}$$

Численный ответ

0.0659173771352483

Ответ (Неопределённый)

  /                                              
 |                                               
 |    3                                    2    3
 |   x                                  3*x    x 
 | ----- dx = C - 27*log(3 + x) + 9*x - ---- + --
 | 3 + x                                 2     3 
 |                                               
/                                                

$${{2\,x^3-9\,x^2+54\,x}\over{6}}-27\,\log \left(x+3\right)$$