Интеграл y*sqrt(1+y^2) (dx)

  1                 
  /                 
 |                  
 |       ________   
 |      /      2    
 |  y*\/  1 + y   dy
 |                  
/                   
0                   

1. пусть $u = y^{2} + 1$.

   Тогда пусть $du = 2 y dy$ и подставим $\frac{du}{2}$:

   $\int \sqrt{u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \sqrt{u}\, du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{1}{3} \left(y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \left(y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{3} \left(y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}$

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |       ________                ___
 |      /      2         1   2*\/ 2 
 |  y*\/  1 + y   dy = - - + -------
 |                       3      3   
/                                   
0                                   

0.60947570824873

  /                                  
 |                                3/2
 |      ________          /     2\   
 |     /      2           \1 + y /   
 | y*\/  1 + y   dy = C + -----------
 |                             3     
/