Интеграл y*sqrt(1+y^2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                 
      /                 
     |                  
     |       ________   
     |      /      2    
     |  y*\/  1 + y   dy
     |                  
    /                   
    0                   
    01yy2+1dy\int_{0}^{1} y \sqrt{y^{2} + 1}\, dy
    Подробное решение
    1. пусть u=y2+1u = y^{2} + 1.

      Тогда пусть du=2ydydu = 2 y dy и подставим du2\frac{du}{2}:

      udu\int \sqrt{u}\, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        udu=12udu\int \sqrt{u}\, du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u}\, du

        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

          udu=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

        Таким образом, результат будет: u323\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}

      Если сейчас заменить uu ещё в:

      13(y2+1)32\frac{1}{3} \left(y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      13(y2+1)32+constant\frac{1}{3} \left(y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    13(y2+1)32+constant\frac{1}{3} \left(y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-500500
    Ответ [src]
      1                                 
      /                                 
     |                                  
     |       ________                ___
     |      /      2         1   2*\/ 2 
     |  y*\/  1 + y   dy = - - + -------
     |                       3      3   
    /                                   
    0                                   
    232313{{2^{{{3}\over{2}}}}\over{3}}-{{1}\over{3}}
    Численный ответ [src]
    0.60947570824873
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                  
     |                                3/2
     |      ________          /     2\   
     |     /      2           \1 + y /   
     | y*\/  1 + y   dy = C + -----------
     |                             3     
    /                                    
    (y2+1)323{{\left(y^2+1\right)^{{{3}\over{2}}}}\over{3}}