Интеграл e^(1-6*x^2)*x (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1               
  /               
 |                
 |          2     
 |   1 - 6*x      
 |  E        *x dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} e^{- 6 x^{2} + 1} x\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 6 x^{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = - 12 x dx$ и подставим $- \frac{du}{12}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = - \frac{1}{12} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{12}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{12} e^{- 6 x^{2} + 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- 6 x^{2} + 1} x = e x e^{- 6 x^{2}}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e x e^{- 6 x^{2}}\, dx = e \int x e^{- 6 x^{2}}\, dx$

      1. пусть $u = - 6 x^{2}$.

         Тогда пусть $du = - 12 x dx$ и подставим $- \frac{du}{12}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \frac{1}{12} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{12}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{12} e^{- 6 x^{2}}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{e}{12} e^{- 6 x^{2}}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{12} e^{- 6 x^{2} + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{12} e^{- 6 x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{12} e^{- 6 x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                            
  /                            
 |                             
 |          2           -5     
 |   1 - 6*x           e     E 
 |  E        *x dx = - --- + --
 |                      12   12
/                              
0                              

$${{E}\over{12\,\log E}}-{{1}\over{12\,E^5\,\log E}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

0.225961990121663