Интеграл (3-x^2)*log(x) (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |  /     2\          
 |  \3 - x /*log(x) dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \left(- x^{2} + 3\right) \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = - x^{2} + 3$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - x^{2}\, dx = - \int x^{2}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 3\, dx = 3 x$

         Результат есть: $- \frac{x^{3}}{3} + 3 x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x} \left(- \frac{x^{3}}{3} + 3 x\right) = - \frac{x^{2}}{3} + 3$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x^{2}}{3}\, dx = - \frac{1}{3} \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{3}}{9}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      Результат есть: $- \frac{x^{3}}{9} + 3 x$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x^{2} + 3\right) \log{\left (x \right )} = - x^{2} \log{\left (x \right )} + 3 \log{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x^{2} \log{\left (x \right )}\, dx = - \int x^{2} \log{\left (x \right )}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{2}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{1}{3} \int x^{2}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{3}}{3} \log{\left (x \right )} + \frac{x^{3}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 \log{\left (x \right )}\, dx = 3 \int \log{\left (x \right )}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Таким образом, результат будет: $3 x \log{\left (x \right )} - 3 x$

      Результат есть: $- \frac{x^{3}}{3} \log{\left (x \right )} + \frac{x^{3}}{9} + 3 x \log{\left (x \right )} - 3 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x}{9} \left(x^{2} - 3 \left(x^{2} - 9\right) \log{\left (x \right )} - 27\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{9} \left(x^{2} - 3 \left(x^{2} - 9\right) \log{\left (x \right )} - 27\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{9} \left(x^{2} - 3 \left(x^{2} - 9\right) \log{\left (x \right )} - 27\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                           
  /                           
 |                            
 |  /     2\                  
 |  \3 - x /*log(x) dx = -26/9
 |                            
/                             
0                             

$$-{{26}\over{9}}$$

Численный ответ

-2.88888888888889

Ответ (Неопределённый)

  /                                                     
 |                                 3   /       3\       
 | /     2\                       x    |      x |       
 | \3 - x /*log(x) dx = C - 3*x + -- + |3*x - --|*log(x)
 |                                9    \      3 /       
/                                                       

$$\left(3\,x-{{x^3}\over{3}}\right)\,\log x+{{x^3-27\,x}\over{9}}$$