Интеграл (3-x^2)*log(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                   
      /                   
     |                    
     |  /     2\          
     |  \3 - x /*log(x) dx
     |                    
    /                     
    0                     
    01(x2+3)log(x)dx\int_{0}^{1} \left(- x^{2} + 3\right) \log{\left (x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=log(x)u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )} и пусть dv(x)=x2+3\operatorname{dv}{\left (x \right )} = - x^{2} + 3 dx.

        Затем du(x)=1x\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            x2dx=x2dx\int - x^{2}\, dx = - \int x^{2}\, dx

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

              x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            Таким образом, результат будет: x33- \frac{x^{3}}{3}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            3dx=3x\int 3\, dx = 3 x

          Результат есть: x33+3x- \frac{x^{3}}{3} + 3 x

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        1x(x33+3x)=x23+3\frac{1}{x} \left(- \frac{x^{3}}{3} + 3 x\right) = - \frac{x^{2}}{3} + 3

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          x23dx=13x2dx\int - \frac{x^{2}}{3}\, dx = - \frac{1}{3} \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: x39- \frac{x^{3}}{9}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          3dx=3x\int 3\, dx = 3 x

        Результат есть: x39+3x- \frac{x^{3}}{9} + 3 x

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (x2+3)log(x)=x2log(x)+3log(x)\left(- x^{2} + 3\right) \log{\left (x \right )} = - x^{2} \log{\left (x \right )} + 3 \log{\left (x \right )}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          x2log(x)dx=x2log(x)dx\int - x^{2} \log{\left (x \right )}\, dx = - \int x^{2} \log{\left (x \right )}\, dx

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(x)=log(x)u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )} и пусть dv(x)=x2\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{2} dx.

            Затем du(x)=1x\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x} dx.

            Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

              x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            x23dx=13x2dx\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{1}{3} \int x^{2}\, dx

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

              x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            Таким образом, результат будет: x39\frac{x^{3}}{9}

          Таким образом, результат будет: x33log(x)+x39- \frac{x^{3}}{3} \log{\left (x \right )} + \frac{x^{3}}{9}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3log(x)dx=3log(x)dx\int 3 \log{\left (x \right )}\, dx = 3 \int \log{\left (x \right )}\, dx

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(x)=log(x)u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

            Затем du(x)=1x\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x} dx.

            Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1dx=x\int 1\, dx = x

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          Таким образом, результат будет: 3xlog(x)3x3 x \log{\left (x \right )} - 3 x

        Результат есть: x33log(x)+x39+3xlog(x)3x- \frac{x^{3}}{3} \log{\left (x \right )} + \frac{x^{3}}{9} + 3 x \log{\left (x \right )} - 3 x

    2. Теперь упростить:

      x9(x23(x29)log(x)27)\frac{x}{9} \left(x^{2} - 3 \left(x^{2} - 9\right) \log{\left (x \right )} - 27\right)

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x9(x23(x29)log(x)27)+constant\frac{x}{9} \left(x^{2} - 3 \left(x^{2} - 9\right) \log{\left (x \right )} - 27\right)+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x9(x23(x29)log(x)27)+constant\frac{x}{9} \left(x^{2} - 3 \left(x^{2} - 9\right) \log{\left (x \right )} - 27\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1000500
    Ответ [src]
      1                           
      /                           
     |                            
     |  /     2\                  
     |  \3 - x /*log(x) dx = -26/9
     |                            
    /                             
    0                             
    269-{{26}\over{9}}
    Численный ответ [src]
    -2.88888888888889
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                     
     |                                 3   /       3\       
     | /     2\                       x    |      x |       
     | \3 - x /*log(x) dx = C - 3*x + -- + |3*x - --|*log(x)
     |                                9    \      3 /       
    /                                                       
    (3xx33)logx+x327x9\left(3\,x-{{x^3}\over{3}}\right)\,\log x+{{x^3-27\,x}\over{9}}