Интеграл cos(x)/(2*sin(x)+1) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |     cos(x)      
 |  ------------ dx
 |  2*sin(x) + 1   
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = 2 \sin{\left(x \right)} + 1$.

   Тогда пусть $du = 2 \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

   $\int \frac{1}{4 u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

log(1 + 2*sin(1))
-----------------
        2        

$$\frac{\log{\left(1 + 2 \sin{\left(1 \right)} \right)}}{2}$$

=

=

log(1 + 2*sin(1))
-----------------
        2        

$$\frac{\log{\left(1 + 2 \sin{\left(1 \right)} \right)}}{2}$$

Численный ответ

0.493456971146309

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |    cos(x)             log(2*sin(x) + 1)
 | ------------ dx = C + -----------------
 | 2*sin(x) + 1                  2        
 |                                        
/                                         

$$\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + 1}\, dx = C + \frac{\log{\left(2 \sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$

График