Интеграл exp(2*x)/(1+exp(x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |    2*x    
     |   e       
     |  ------ dx
     |       x   
     |  1 + e    
     |           
    /            
    0            
    01e2xex+1dx\int\limits_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}\, dx
    Подробное решение
    1. пусть u=exu = e^{x}.

      Тогда пусть du=exdxdu = e^{x} dx и подставим dudu:

      uu+1du\int \frac{u}{u + 1}\, du

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        uu+1=11u+1\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1du=u\int 1\, du = u

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (1u+1)du=1u+1du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

          1. пусть u=u+1u = u + 1.

            Тогда пусть du=dudu = du и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

          Таким образом, результат будет: log(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

        Результат есть: ulog(u+1)u - \log{\left(u + 1 \right)}

      Если сейчас заменить uu ещё в:

      exlog(ex+1)e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      exlog(ex+1)+constante^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    exlog(ex+1)+constante^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9004
    Ответ [src]
    -1 + e - log(1 + e) + log(2)
    log(1+e)1+log(2)+e- \log{\left(1 + e \right)} - 1 + \log{\left(2 \right)} + e
    =
    =
    -1 + e - log(1 + e) + log(2)
    log(1+e)1+log(2)+e- \log{\left(1 + e \right)} - 1 + \log{\left(2 \right)} + e
    Численный ответ [src]
    1.09816732150077
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                
     |                                 
     |   2*x                           
     |  e                 /     x\    x
     | ------ dx = C - log\1 + e / + e 
     |      x                          
     | 1 + e                           
     |                                 
    /                                  
    e2xex+1dx=C+exlog(ex+1)\int \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}\, dx = C + e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}
    График
    Интеграл exp(2*x)/(1+exp(x)) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/6/55/89b368593b0314eeb70ca2dcbb129.png