Интеграл exp(2*x)/(1+exp(x)) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    2*x    
 |   e       
 |  ------ dx
 |       x   
 |  1 + e    
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = e^{x}$.

   Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

   $\int \frac{u}{u + 1}\, du$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

         1. пусть $u = u + 1$.

            Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(u + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

      Результат есть: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-1 + e - log(1 + e) + log(2)

$$- \log{\left(1 + e \right)} - 1 + \log{\left(2 \right)} + e$$

=

=

-1 + e - log(1 + e) + log(2)

$$- \log{\left(1 + e \right)} - 1 + \log{\left(2 \right)} + e$$

Численный ответ

1.09816732150077

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                                 
 |   2*x                           
 |  e                 /     x\    x
 | ------ dx = C - log\1 + e / + e 
 |      x                          
 | 1 + e                           
 |                                 
/                                  

$$\int \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}\, dx = C + e^{x} - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$$

График