Интеграл (2*x-1)/(x^2-2*x+5) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |    2*x - 1      
     |  ------------ dx
     |   2             
     |  x  - 2*x + 5   
     |                 
    /                  
    0                  
    $$\int_{0}^{1} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x + 5}\, dx$$
    Подробное решение
    Дан интеграл:
      /               
     |                
     |   2*x - 1      
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  - 2*x + 5   
     |                
    /                 
    Перепишем подинтегральную функцию
      2*x - 1        2*x - 2              1         
    ------------ = ------------ + ------------------
     2              2               /         2    \
    x  - 2*x + 5   x  - 2*x + 5     |/  x   1\     |
                                  4*||- - + -|  + 1|
                                    \\  2   2/     /
    или
      /                 
     |                  
     |   2*x - 1        
     | ------------ dx  
     |  2              =
     | x  - 2*x + 5     
     |                  
    /                   
      
      /                                      
     |                                       
     |       1                               
     | -------------- dx                     
     |          2                            
     | /  x   1\                             
     | |- - + -|  + 1                        
     | \  2   2/             /               
     |                      |                
    /                       |   2*x - 2      
    -------------------- +  | ------------ dx
             4              |  2             
                            | x  - 2*x + 5   
                            |                
                           /                 
    В интеграле
      /               
     |                
     |   2*x - 2      
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  - 2*x + 5   
     |                
    /                 
    сделаем замену
         2      
    u = x  - 2*x
    тогда
    интеграл =
      /                     
     |                      
     |   1                  
     | ----- du = log(5 + u)
     | 5 + u                
     |                      
    /                       
    делаем обратную замену
      /                                   
     |                                    
     |   2*x - 2            /     2      \
     | ------------ dx = log\5 + x  - 2*x/
     |  2                                 
     | x  - 2*x + 5                       
     |                                    
    /                                     
    В интеграле
      /                 
     |                  
     |       1          
     | -------------- dx
     |          2       
     | /  x   1\        
     | |- - + -|  + 1   
     | \  2   2/        
     |                  
    /                   
    --------------------
             4          
    сделаем замену
        1   x
    v = - - -
        2   2
    тогда
    интеграл =
      /                   
     |                    
     |   1                
     | ------ dv          
     |      2             
     | 1 + v              
     |                    
    /              atan(v)
    ------------ = -------
         4            4   
    делаем обратную замену
      /                                 
     |                                  
     |       1                          
     | -------------- dx                
     |          2                       
     | /  x   1\                        
     | |- - + -|  + 1                   
     | \  2   2/               /  1   x\
     |                     atan|- - + -|
    /                          \  2   2/
    -------------------- = -------------
             4                   2      
    Решением будет:
            /  1   x\                    
        atan|- - + -|                    
            \  2   2/      /     2      \
    C + ------------- + log\5 + x  - 2*x/
              2                          
    График
    Ответ [src]
      1                                              
      /                                              
     |                                               
     |    2*x - 1         atan(1/2)                  
     |  ------------ dx = --------- - log(5) + log(4)
     |   2                    2                      
     |  x  - 2*x + 5                                 
     |                                               
    /                                                
    0                                                
    $$-\log 5+\log 4+{{\arctan \left({{1}\over{2}}\right)}\over{2}}$$
    Численный ответ [src]
    0.0086802531861933
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                          /  1   x\                    
     |                       atan|- - + -|                    
     |   2*x - 1                 \  2   2/      /     2      \
     | ------------ dx = C + ------------- + log\5 + x  - 2*x/
     |  2                          2                          
     | x  - 2*x + 5                                           
     |                                                        
    /                                                         
    $$\log \left(x^2-2\,x+5\right)+{{\arctan \left({{2\,x-2}\over{4}} \right)}\over{2}}$$