Интеграл (2*x-1)/(x^2-2*x+5) (dx)
Решение
Вы ввели
[src]
1 / | | 2*x - 1 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 5 | / 0
$$\int_{0}^{1} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x + 5}\, dx$$
Подробное решение
Дан интеграл:
/ | | 2*x - 1 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 5 | /
Перепишем подинтегральную функцию
2*x - 1 2*x - 2 1
------------ = ------------ + ------------------
2 2 / 2 \
x - 2*x + 5 x - 2*x + 5 |/ x 1\ |
4*||- - + -| + 1|
\\ 2 2/ /или
/ | | 2*x - 1 | ------------ dx | 2 = | x - 2*x + 5 | /
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/ /
| |
/ | 2*x - 2
-------------------- + | ------------ dx
4 | 2
| x - 2*x + 5
|
/ В интеграле
/ | | 2*x - 2 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 5 | /
сделаем замену
2 u = x - 2*x
тогда
интеграл =
/ | | 1 | ----- du = log(5 + u) | 5 + u | /
делаем обратную замену
/ | | 2*x - 2 / 2 \ | ------------ dx = log\5 + x - 2*x/ | 2 | x - 2*x + 5 | /
В интеграле
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/
|
/
--------------------
4 сделаем замену
1 x
v = - - -
2 2тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
4 4 делаем обратную замену
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/ / 1 x\
| atan|- - + -|
/ \ 2 2/
-------------------- = -------------
4 2 Решением будет:
/ 1 x\
atan|- - + -|
\ 2 2/ / 2 \
C + ------------- + log\5 + x - 2*x/
2
График
Ответ
[src]
1 / | | 2*x - 1 atan(1/2) | ------------ dx = --------- - log(5) + log(4) | 2 2 | x - 2*x + 5 | / 0
$$-\log 5+\log 4+{{\arctan \left({{1}\over{2}}\right)}\over{2}}$$
Численный ответ
[src]
0.0086802531861933
Ответ (Неопределённый)
[src]
/ / 1 x\ | atan|- - + -| | 2*x - 1 \ 2 2/ / 2 \ | ------------ dx = C + ------------- + log\5 + x - 2*x/ | 2 2 | x - 2*x + 5 | /
$$\log \left(x^2-2\,x+5\right)+{{\arctan \left({{2\,x-2}\over{4}}
\right)}\over{2}}$$