Дан интеграл:
/
|
| 2*x - 1
| ------------ dx
| 2
| x - 2*x + 5
|
/
Перепишем подинтегральную функцию
2*x - 1 2*x - 2 1
------------ = ------------ + ------------------
2 2 / 2 \
x - 2*x + 5 x - 2*x + 5 |/ x 1\ |
4*||- - + -| + 1|
\\ 2 2/ /
или
/
|
| 2*x - 1
| ------------ dx
| 2 =
| x - 2*x + 5
|
/
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/ /
| |
/ | 2*x - 2
-------------------- + | ------------ dx
4 | 2
| x - 2*x + 5
|
/
В интеграле
/
|
| 2*x - 2
| ------------ dx
| 2
| x - 2*x + 5
|
/
сделаем замену
тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ----- du = log(5 + u)
| 5 + u
|
/
делаем обратную замену
/
|
| 2*x - 2 / 2 \
| ------------ dx = log\5 + x - 2*x/
| 2
| x - 2*x + 5
|
/
В интеграле
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/
|
/
--------------------
4
сделаем замену
тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
4 4
делаем обратную замену
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/ / 1 x\
| atan|- - + -|
/ \ 2 2/
-------------------- = -------------
4 2
Решением будет:
/ 1 x\
atan|- - + -|
\ 2 2/ / 2 \
C + ------------- + log\5 + x - 2*x/
2