Интеграл (2*x-1)/(x^2-2*x+5) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |    2*x - 1      
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  - 2*x + 5   
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x + 5}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /               
 |                
 |   2*x - 1      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 2*x + 5   
 |                
/                 

Перепишем подинтегральную функцию

  2*x - 1        2*x - 2              1         
------------ = ------------ + ------------------
 2              2               /         2    \
x  - 2*x + 5   x  - 2*x + 5     |/  x   1\     |
                              4*||- - + -|  + 1|
                                \\  2   2/     /

или

  /                 
 |                  
 |   2*x - 1        
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  - 2*x + 5     
 |                  
/                   
  

  /                                      
 |                                       
 |       1                               
 | -------------- dx                     
 |          2                            
 | /  x   1\                             
 | |- - + -|  + 1                        
 | \  2   2/             /               
 |                      |                
/                       |   2*x - 2      
-------------------- +  | ------------ dx
         4              |  2             
                        | x  - 2*x + 5   
                        |                
                       /                 

В интеграле

  /               
 |                
 |   2*x - 2      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 2*x + 5   
 |                
/                 

сделаем замену

     2      
u = x  - 2*x

тогда

интеграл =

  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du = log(5 + u)
 | 5 + u                
 |                      
/                       

делаем обратную замену

  /                                   
 |                                    
 |   2*x - 2            /     2      \
 | ------------ dx = log\5 + x  - 2*x/
 |  2                                 
 | x  - 2*x + 5                       
 |                                    
/                                     

В интеграле

  /                 
 |                  
 |       1          
 | -------------- dx
 |          2       
 | /  x   1\        
 | |- - + -|  + 1   
 | \  2   2/        
 |                  
/                   
--------------------
         4          

сделаем замену

    1   x
v = - - -
    2   2

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     4            4   

делаем обратную замену

  /                                 
 |                                  
 |       1                          
 | -------------- dx                
 |          2                       
 | /  x   1\                        
 | |- - + -|  + 1                   
 | \  2   2/               /  1   x\
 |                     atan|- - + -|
/                          \  2   2/
-------------------- = -------------
         4                   2      

Решением будет:

        /  1   x\                    
    atan|- - + -|                    
        \  2   2/      /     2      \
C + ------------- + log\5 + x  - 2*x/
          2                          

Ответ

  1                                              
  /                                              
 |                                               
 |    2*x - 1         atan(1/2)                  
 |  ------------ dx = --------- - log(5) + log(4)
 |   2                    2                      
 |  x  - 2*x + 5                                 
 |                                               
/                                                
0                                                

$$-\log 5+\log 4+{{\arctan \left({{1}\over{2}}\right)}\over{2}}$$

Численный ответ

0.0086802531861933

Ответ (Неопределённый)

  /                          /  1   x\                    
 |                       atan|- - + -|                    
 |   2*x - 1                 \  2   2/      /     2      \
 | ------------ dx = C + ------------- + log\5 + x  - 2*x/
 |  2                          2                          
 | x  - 2*x + 5                                           
 |                                                        
/                                                         

$$\log \left(x^2-2\,x+5\right)+{{\arctan \left({{2\,x-2}\over{4}} \right)}\over{2}}$$