Интеграл x^2/(x^3+8) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     2     
 |    x      
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  + 8   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{3} + 8}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{3} + 8$.

      Тогда пусть $du = 3 x^{2} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \log{\left (x^{3} + 8 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{3} + 8} = \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 6 x + 12} + \frac{1}{3 x + 6}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 6 x + 12}\, dx = \frac{2}{3} \int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx$

         1. пусть $u = x^{2} - 2 x + 4$.

            Тогда пусть $du = \left(2 x - 2\right) dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{3 x + 6}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (x + 2 \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{3} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{3} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{3} \log{\left (x^{3} + 8 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \log{\left (x^{3} + 8 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3} \log{\left (x^{3} + 8 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                              
  /                              
 |                               
 |     2                         
 |    x           log(8)   log(9)
 |  ------ dx = - ------ + ------
 |   3              3        3   
 |  x  + 8                       
 |                               
/                                
0                                

$${{\log 9}\over{3}}-{{\log 8}\over{3}}$$

Численный ответ

0.0392610118854612

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                            
 |    2               / 3    \
 |   x             log\x  + 8/
 | ------ dx = C + -----------
 |  3                   3     
 | x  + 8                     
 |                            
/                             

$${{\log \left(x^3+8\right)}\over{3}}$$