Интеграл -(x^2*sin(pi*x)*dx) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                 
      /                 
     |                  
     |    2             
     |  -x *sin(pi*x) dx
     |                  
    /                   
    0                   
    $$\int_{0}^{1} - x^{2} \sin{\left (\pi x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Теперь решаем под-интеграл.

      3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      Таким образом, результат будет:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                              
      /                              
     |                               
     |    2                  1     4 
     |  -x *sin(pi*x) dx = - -- + ---
     |                       pi     3
    /                             pi 
    0                                
    $${{2}\over{\pi^3}}-{{2\,\pi\,\sin \pi+\left(2-\pi^2\right)\,\cos \pi }\over{\pi^3}}$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    -0.189303748450993
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                                                                 
     |                                       2                          
     |   2                    2*cos(pi*x)   x *cos(pi*x)   2*x*sin(pi*x)
     | -x *sin(pi*x) dx = C - ----------- + ------------ - -------------
     |                              3            pi               2     
    /                             pi                            pi      
    $$-{{2\,\pi\,x\,\sin \left(\pi\,x\right)+\left(2-\pi^2\,x^2\right)\, \cos \left(\pi\,x\right)}\over{\pi^3}}$$