Интеграл -(x^2*sin(pi*x)*dx) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                 
      /                 
     |                  
     |    2             
     |  -x *sin(pi*x) dx
     |                  
    /                   
    0                   
    01x2sin(πx)dx\int_{0}^{1} - x^{2} \sin{\left (\pi x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      x2sin(πx)dx=x2sin(πx)dx\int - x^{2} \sin{\left (\pi x \right )}\, dx = - \int x^{2} \sin{\left (\pi x \right )}\, dx

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=x2u{\left (x \right )} = x^{2} и пусть dv(x)=sin(πx)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (\pi x \right )} dx.

        Затем du(x)=2x\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. пусть u=πxu = \pi x.

          Тогда пусть du=πdxdu = \pi dx и подставим duπ\frac{du}{\pi}:

          sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            sin(u)du=1πsin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{\pi} \int \sin{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 1πcos(u)- \frac{1}{\pi} \cos{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          1πcos(πx)- \frac{1}{\pi} \cos{\left (\pi x \right )}

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=2xπu{\left (x \right )} = - \frac{2 x}{\pi} и пусть dv(x)=cos(πx)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (\pi x \right )} dx.

        Затем du(x)=2π\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{2}{\pi} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. пусть u=πxu = \pi x.

          Тогда пусть du=πdxdu = \pi dx и подставим duπ\frac{du}{\pi}:

          cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            cos(u)du=1πcos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{\pi} \int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 1πsin(u)\frac{1}{\pi} \sin{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          1πsin(πx)\frac{1}{\pi} \sin{\left (\pi x \right )}

        Теперь решаем под-интеграл.

      3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        2π2sin(πx)dx=2π2sin(πx)dx\int - \frac{2}{\pi^{2}} \sin{\left (\pi x \right )}\, dx = - \frac{2}{\pi^{2}} \int \sin{\left (\pi x \right )}\, dx

        1. пусть u=πxu = \pi x.

          Тогда пусть du=πdxdu = \pi dx и подставим duπ\frac{du}{\pi}:

          sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            sin(u)du=1πsin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{\pi} \int \sin{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 1πcos(u)- \frac{1}{\pi} \cos{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          1πcos(πx)- \frac{1}{\pi} \cos{\left (\pi x \right )}

        Таким образом, результат будет: 2π3cos(πx)\frac{2}{\pi^{3}} \cos{\left (\pi x \right )}

      Таким образом, результат будет: x2πcos(πx)2xπ2sin(πx)2π3cos(πx)\frac{x^{2}}{\pi} \cos{\left (\pi x \right )} - \frac{2 x}{\pi^{2}} \sin{\left (\pi x \right )} - \frac{2}{\pi^{3}} \cos{\left (\pi x \right )}

    2. Теперь упростить:

      1π3(π2x2cos(πx)2πxsin(πx)2cos(πx))\frac{1}{\pi^{3}} \left(\pi^{2} x^{2} \cos{\left (\pi x \right )} - 2 \pi x \sin{\left (\pi x \right )} - 2 \cos{\left (\pi x \right )}\right)

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      1π3(π2x2cos(πx)2πxsin(πx)2cos(πx))+constant\frac{1}{\pi^{3}} \left(\pi^{2} x^{2} \cos{\left (\pi x \right )} - 2 \pi x \sin{\left (\pi x \right )} - 2 \cos{\left (\pi x \right )}\right)+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    1π3(π2x2cos(πx)2πxsin(πx)2cos(πx))+constant\frac{1}{\pi^{3}} \left(\pi^{2} x^{2} \cos{\left (\pi x \right )} - 2 \pi x \sin{\left (\pi x \right )} - 2 \cos{\left (\pi x \right )}\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-200200
    Ответ [src]
      1                              
      /                              
     |                               
     |    2                  1     4 
     |  -x *sin(pi*x) dx = - -- + ---
     |                       pi     3
    /                             pi 
    0                                
    2π32πsinπ+(2π2)cosππ3{{2}\over{\pi^3}}-{{2\,\pi\,\sin \pi+\left(2-\pi^2\right)\,\cos \pi }\over{\pi^3}}
    Численный ответ [src]
    -0.189303748450993
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                 
     |                                       2                          
     |   2                    2*cos(pi*x)   x *cos(pi*x)   2*x*sin(pi*x)
     | -x *sin(pi*x) dx = C - ----------- + ------------ - -------------
     |                              3            pi               2     
    /                             pi                            pi      
    2πxsin(πx)+(2π2x2)cos(πx)π3-{{2\,\pi\,x\,\sin \left(\pi\,x\right)+\left(2-\pi^2\,x^2\right)\, \cos \left(\pi\,x\right)}\over{\pi^3}}