Интеграл -(x^2*sin(pi*x)*dx) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                 
  /                 
 |                  
 |    2             
 |  -x *sin(pi*x) dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} - x^{2} \sin{\left (\pi x \right )}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - x^{2} \sin{\left (\pi x \right )}\, dx = - \int x^{2} \sin{\left (\pi x \right )}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (\pi x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = \pi x$.

         Тогда пусть $du = \pi dx$ и подставим $\frac{du}{\pi}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{\pi} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{\pi} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{\pi} \cos{\left (\pi x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = - \frac{2 x}{\pi}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (\pi x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{2}{\pi}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = \pi x$.

         Тогда пусть $du = \pi dx$ и подставим $\frac{du}{\pi}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{\pi} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{\pi} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{\pi} \sin{\left (\pi x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{2}{\pi^{2}} \sin{\left (\pi x \right )}\, dx = - \frac{2}{\pi^{2}} \int \sin{\left (\pi x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \pi x$.

         Тогда пусть $du = \pi dx$ и подставим $\frac{du}{\pi}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{\pi} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{\pi} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{\pi} \cos{\left (\pi x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2}{\pi^{3}} \cos{\left (\pi x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{\pi} \cos{\left (\pi x \right )} - \frac{2 x}{\pi^{2}} \sin{\left (\pi x \right )} - \frac{2}{\pi^{3}} \cos{\left (\pi x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{\pi^{3}} \left(\pi^{2} x^{2} \cos{\left (\pi x \right )} - 2 \pi x \sin{\left (\pi x \right )} - 2 \cos{\left (\pi x \right )}\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{\pi^{3}} \left(\pi^{2} x^{2} \cos{\left (\pi x \right )} - 2 \pi x \sin{\left (\pi x \right )} - 2 \cos{\left (\pi x \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\pi^{3}} \left(\pi^{2} x^{2} \cos{\left (\pi x \right )} - 2 \pi x \sin{\left (\pi x \right )} - 2 \cos{\left (\pi x \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                              
  /                              
 |                               
 |    2                  1     4 
 |  -x *sin(pi*x) dx = - -- + ---
 |                       pi     3
/                             pi 
0                                

$${{2}\over{\pi^3}}-{{2\,\pi\,\sin \pi+\left(2-\pi^2\right)\,\cos \pi }\over{\pi^3}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

-0.189303748450993

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                                 
 |                                       2                          
 |   2                    2*cos(pi*x)   x *cos(pi*x)   2*x*sin(pi*x)
 | -x *sin(pi*x) dx = C - ----------- + ------------ - -------------
 |                              3            pi               2     
/                             pi                            pi      

$$-{{2\,\pi\,x\,\sin \left(\pi\,x\right)+\left(2-\pi^2\,x^2\right)\, \cos \left(\pi\,x\right)}\over{\pi^3}}$$

Упростить