Интеграл x^2*(3+2*x^3)^4 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                  
      /                  
     |                   
     |               4   
     |   2 /       3\    
     |  x *\3 + 2*x /  dx
     |                   
    /                    
    0                    
    01x2(2x3+3)4dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} \left(2 x^{3} + 3\right)^{4}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=2x3+3u = 2 x^{3} + 3.

        Тогда пусть du=6x2dxdu = 6 x^{2} dx и подставим du6\frac{du}{6}:

        u436du\int \frac{u^{4}}{36}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u46du=u4du6\int \frac{u^{4}}{6}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{6}

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: u530\frac{u^{5}}{30}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        (2x3+3)530\frac{\left(2 x^{3} + 3\right)^{5}}{30}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x2(2x3+3)4=16x14+96x11+216x8+216x5+81x2x^{2} \left(2 x^{3} + 3\right)^{4} = 16 x^{14} + 96 x^{11} + 216 x^{8} + 216 x^{5} + 81 x^{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          16x14dx=16x14dx\int 16 x^{14}\, dx = 16 \int x^{14}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x14dx=x1515\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}

          Таким образом, результат будет: 16x1515\frac{16 x^{15}}{15}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          96x11dx=96x11dx\int 96 x^{11}\, dx = 96 \int x^{11}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x11dx=x1212\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}

          Таким образом, результат будет: 8x128 x^{12}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          216x8dx=216x8dx\int 216 x^{8}\, dx = 216 \int x^{8}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x8dx=x99\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}

          Таким образом, результат будет: 24x924 x^{9}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          216x5dx=216x5dx\int 216 x^{5}\, dx = 216 \int x^{5}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x5dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: 36x636 x^{6}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          81x2dx=81x2dx\int 81 x^{2}\, dx = 81 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 27x327 x^{3}

        Результат есть: 16x1515+8x12+24x9+36x6+27x3\frac{16 x^{15}}{15} + 8 x^{12} + 24 x^{9} + 36 x^{6} + 27 x^{3}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      (2x3+3)530+constant\frac{\left(2 x^{3} + 3\right)^{5}}{30}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    (2x3+3)530+constant\frac{\left(2 x^{3} + 3\right)^{5}}{30}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9001000
    Ответ [src]
    1441
    ----
     15 
    144115\frac{1441}{15}
    =
    =
    1441
    ----
     15 
    144115\frac{1441}{15}
    Численный ответ [src]
    96.0666666666667
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                   
     |                                   5
     |              4          /       3\ 
     |  2 /       3\           \3 + 2*x / 
     | x *\3 + 2*x /  dx = C + -----------
     |                              30    
    /                                     
    x2(2x3+3)4dx=C+(2x3+3)530\int x^{2} \left(2 x^{3} + 3\right)^{4}\, dx = C + \frac{\left(2 x^{3} + 3\right)^{5}}{30}
    График
    Интеграл x^2*(3+2*x^3)^4 (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/4/15/5b254f736654eacd5720f5c5b3c9f.png