Интеграл x^2*(3+2*x^3)^4 (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                  
  /                  
 |                   
 |               4   
 |   2 /       3\    
 |  x *\3 + 2*x /  dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} x^{2} \left(2 x^{3} + 3\right)^{4}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x^{3} + 3$.

      Тогда пусть $du = 6 x^{2} dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{4}\, du = \frac{1}{6} \int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{30}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{30} \left(2 x^{3} + 3\right)^{5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x^{2} \left(2 x^{3} + 3\right)^{4} = 16 x^{14} + 96 x^{11} + 216 x^{8} + 216 x^{5} + 81 x^{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 16 x^{14}\, dx = 16 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{16 x^{15}}{15}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 96 x^{11}\, dx = 96 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $8 x^{12}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 216 x^{8}\, dx = 216 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $24 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 216 x^{5}\, dx = 216 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $36 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 81 x^{2}\, dx = 81 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $27 x^{3}$

      Результат есть: $\frac{16 x^{15}}{15} + 8 x^{12} + 24 x^{9} + 36 x^{6} + 27 x^{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{30} \left(2 x^{3} + 3\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{30} \left(2 x^{3} + 3\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                         
  /                         
 |                          
 |               4          
 |   2 /       3\       1441
 |  x *\3 + 2*x /  dx = ----
 |                       15 
/                           
0                           

$${{1441}\over{15}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

96.0666666666667

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                   
 |                                   5
 |              4          /       3\ 
 |  2 /       3\           \3 + 2*x / 
 | x *\3 + 2*x /  dx = C + -----------
 |                              30    
/                                     

$${{\left(2\,x^3+3\right)^5}\over{30}}$$

Упростить