Интеграл x^2*asin(2*x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                
      /                
     |                 
     |   2             
     |  x *asin(2*x) dx
     |                 
    /                  
    0                  
    $$\int_{0}^{1} x^{2} \operatorname{asin}{\left (2 x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть dx.

      Затем dx.

      Чтобы найти :

      1. Интеграл есть :

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta)/2, rewritten=sin(_theta)**3/16, substep=ConstantTimesRule(constant=1/16, other=sin(_theta)**3, substep=RewriteRule(rewritten=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_u)], context=_u**2 - 1, symbol=_u), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta)], context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), context=sin(_theta)**3, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3/16, symbol=_theta), restriction=And(x < 1/2, x > -1/2), context=x**3/sqrt(-4*x**2 + 1), symbol=x)

      Таким образом, результат будет:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    Ответ
    [LaTeX]
      1                                           
      /                                           
     |                                         ___
     |   2                  1    asin(2)   I*\/ 3 
     |  x *asin(2*x) dx = - -- + ------- + -------
     |                      36      3         12  
    /                                             
    0                                             
    $${{4\,\arcsin 2+\sqrt{3}\,i}\over{12}}-{{1}\over{36}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    (0.495961489070323 - 0.294506277065922j)
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
                               //     __________             3/2                            \               
                               ||    /        2    /       2\                               |               
      /                      2*|<  \/  1 - 4*x     \1 - 4*x /                               |               
     |                         ||- ------------- + -------------  for And(x > -1/2, x < 1/2)|    3          
     |  2                      \\        16              48                                 /   x *asin(2*x)
     | x *asin(2*x) dx = C - ---------------------------------------------------------------- + ------------
     |                                                      3                                        3      
    /                                                                                                       
    $${{x^3\,\arcsin \left(2\,x\right)}\over{3}}-{{2\,\left(-{{x^2\, \sqrt{1-4\,x^2}}\over{12}}-{{\sqrt{1-4\,x^2}}\over{24}}\right) }\over{3}}$$