Интеграл x^2*asin(2*x) (dx)

  1                
  /                
 |                 
 |   2             
 |  x *asin(2*x) dx
 |                 
/                  
0                  

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (2 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{2}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2}{\sqrt{- 4 x^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{3}}{3 \sqrt{- 4 x^{2} + 1}}\, dx = \frac{2}{3} \int \frac{x^{3}}{\sqrt{- 4 x^{2} + 1}}\, dx$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta)/2, rewritten=sin(_theta)**3/16, substep=ConstantTimesRule(constant=1/16, other=sin(_theta)**3, substep=RewriteRule(rewritten=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_u)], context=_u**2 - 1, symbol=_u), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta)], context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), context=sin(_theta)**3, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3/16, symbol=_theta), restriction=And(x < 1/2, x > -1/2), context=x**3/sqrt(-4*x**2 + 1), symbol=x)

   Таким образом, результат будет: $\frac{2}{3} \begin{cases} \frac{1}{48} \left(- 4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{16} \sqrt{- 4 x^{2} + 1} & \text{for}\: x > - \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} \end{cases}$

3. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} \operatorname{asin}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{36} \sqrt{- 4 x^{2} + 1} \left(2 x^{2} + 1\right) & \text{for}\: x > - \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} \end{cases}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} \operatorname{asin}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{36} \sqrt{- 4 x^{2} + 1} \left(2 x^{2} + 1\right) & \text{for}\: x > - \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} \operatorname{asin}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{36} \sqrt{- 4 x^{2} + 1} \left(2 x^{2} + 1\right) & \text{for}\: x > - \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

  1                                           
  /                                           
 |                                         ___
 |   2                  1    asin(2)   I*\/ 3 
 |  x *asin(2*x) dx = - -- + ------- + -------
 |                      36      3         12  
/                                             
0                                             

(0.495961489070323 - 0.294506277065922j)

                           //     __________             3/2                            \               
                           ||    /        2    /       2\                               |               
  /                      2*|<  \/  1 - 4*x     \1 - 4*x /                               |               
 |                         ||- ------------- + -------------  for And(x > -1/2, x < 1/2)|    3          
 |  2                      \\        16              48                                 /   x *asin(2*x)
 | x *asin(2*x) dx = C - ---------------------------------------------------------------- + ------------
 |                                                      3                                        3      
/