Интеграл x^2*asin(2*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |   2             
     |  x *asin(2*x) dx
     |                 
    /                  
    0                  
    01x2asin(2x)dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=asin(2x)u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} и пусть dv(x)=x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}.

      Затем du(x)=214x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

        x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      2x3314x2dx=2x314x2dx3\int \frac{2 x^{3}}{3 \sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx = \frac{2 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx}{3}

        SqrtQuadraticDenomRule(a=1, b=0, c=-4, coeffs=[1, 0, 0, 0], context=x**3/sqrt(1 - 4*x**2), symbol=x)

      Таким образом, результат будет: 214x2(x212124)3\frac{2 \sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{24}\right)}{3}

    3. Теперь упростить:

      x3asin(2x)3+14x2(2x2+1)36\frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \cdot \left(2 x^{2} + 1\right)}{36}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      x3asin(2x)3+14x2(2x2+1)36+constant\frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \cdot \left(2 x^{2} + 1\right)}{36}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x3asin(2x)3+14x2(2x2+1)36+constant\frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \cdot \left(2 x^{2} + 1\right)}{36}+ \mathrm{constant}

    График
    0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.00.5
    Ответ [src]
                         ___
      1    asin(2)   I*\/ 3 
    - -- + ------- + -------
      36      3         12  
    136+asin(2)3+3i12- \frac{1}{36} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{12}
    =
    =
                         ___
      1    asin(2)   I*\/ 3 
    - -- + ------- + -------
      36      3         12  
    136+asin(2)3+3i12- \frac{1}{36} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{12}
    Численный ответ [src]
    (0.495961489070323 - 0.294506277065922j)
    Ответ (Неопределённый) [src]
                                  __________ /        2\               
      /                          /        2  |  1    x |               
     |                       2*\/  1 - 4*x  *|- -- - --|    3          
     |  2                                    \  24   12/   x *asin(2*x)
     | x *asin(2*x) dx = C - --------------------------- + ------------
     |                                    3                     3      
    /                                                                  
    x2asin(2x)dx=C+x3asin(2x)3214x2(x212124)3\int x^{2} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{2 \sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{24}\right)}{3}
    График
    Интеграл x^2*asin(2*x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/0/42/813957e1ae58fb8d525006030d689.png