Интеграл x^2*asin(2*x) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |   2             
 |  x *asin(2*x) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} x^{2} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{3}}{3 \sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx = \frac{2 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx}{3}$

   SqrtQuadraticDenomRule(a=1, b=0, c=-4, coeffs=[1, 0, 0, 0], context=x**3/sqrt(1 - 4*x**2), symbol=x)

   Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{24}\right)}{3}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \cdot \left(2 x^{2} + 1\right)}{36}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \cdot \left(2 x^{2} + 1\right)}{36}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \cdot \left(2 x^{2} + 1\right)}{36}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                     ___
  1    asin(2)   I*\/ 3 
- -- + ------- + -------
  36      3         12  

$$- \frac{1}{36} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{12}$$

=

=

                     ___
  1    asin(2)   I*\/ 3 
- -- + ------- + -------
  36      3         12  

$$- \frac{1}{36} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{12}$$

Численный ответ

(0.495961489070323 - 0.294506277065922j)

Ответ (Неопределённый)

                              __________ /        2\               
  /                          /        2  |  1    x |               
 |                       2*\/  1 - 4*x  *|- -- - --|    3          
 |  2                                    \  24   12/   x *asin(2*x)
 | x *asin(2*x) dx = C - --------------------------- + ------------
 |                                    3                     3      
/                                                                  

$$\int x^{2} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{2 \sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{24}\right)}{3}$$

График