Интеграл x^2/(x+2)^2*(x+4)^2 (dx)

Вы ввели

  1                     
  /                     
 |                      
 |      2               
 |     x            2   
 |  --------*(x + 4)  dx
 |         2            
 |  (x + 2)             
 |                      
/                       
0                       

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(x + 4\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(x + 4\right)^{2} = x^{2} + 4 x - 4 + \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $2 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -4\, dx = - 4 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx = 16 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{x + 2}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 4 x + 4}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}$

               None

         Таким образом, результат будет: $- \frac{16}{x + 2}$

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 4 x - \frac{16}{x + 2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(x + 4\right)^{2} = \frac{x^{4}}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{16 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{4}}{x^{2} + 4 x + 4} = x^{2} - 4 x + 12 - \frac{32}{x + 2} + \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 4 x\, dx = - 4 \int x\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 x^{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 12\, dx = 12 x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{32}{x + 2}\, dx = - 32 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 2 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 32 \log{\left (x + 2 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx = 16 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{x + 2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{16}{x + 2}$

         Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 12 x - 32 \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{16}{x + 2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{8 x^{3}}{x^{2} + 4 x + 4}\, dx = 8 \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 4 x + 4}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{3}}{x^{2} + 4 x + 4} = x - 4 + \frac{12}{x + 2} - \frac{8}{\left(x + 2\right)^{2}}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -4\, dx = - 4 x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{12}{x + 2}\, dx = 12 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $12 \log{\left (x + 2 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{8}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx = - 8 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{x + 2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{8}{x + 2}$

            Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 4 x + 12 \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{8}{x + 2}$

         Таким образом, результат будет: $4 x^{2} - 32 x + 96 \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{64}{x + 2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{16 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4}\, dx = 16 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} = 1 - \frac{4}{x + 2} + \frac{4}{\left(x + 2\right)^{2}}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{4}{x + 2}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 4 \log{\left (x + 2 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{4}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{x + 2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{4}{x + 2}$

            Результат есть: $x - 4 \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{4}{x + 2}$

         Таким образом, результат будет: $16 x - 64 \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{64}{x + 2}$

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 4 x - \frac{16}{x + 2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{3 x + 6} \left(x^{4} + 8 x^{3} - 24 x - 48\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3 x + 6} \left(x^{4} + 8 x^{3} - 24 x - 48\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3 x + 6} \left(x^{4} + 8 x^{3} - 24 x - 48\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |      2                   
 |     x            2       
 |  --------*(x + 4)  dx = 1
 |         2                
 |  (x + 2)                 
 |                          
/                           
0                           

$$1$$

Численный ответ

1.0

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |     2                                            3
 |    x            2            16             2   x 
 | --------*(x + 4)  dx = C - ----- - 4*x + 2*x  + --
 |        2                   2 + x                3 
 | (x + 2)                                           
 |                                                   
/                                                    

$${{x^3+6\,x^2-12\,x}\over{3}}-{{16}\over{x+2}}$$