Интеграл 1/(x^2+2*x-3) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |       1         
     |  ------------ dx
     |   2             
     |  x  + 2*x - 3   
     |                 
    /                  
    0                  
    011x2+2x3dx\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 2 x - 3}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      1x2+2x3=14x+12+14x4\frac{1}{x^{2} + 2 x - 3} = - \frac{1}{4 x + 12} + \frac{1}{4 x - 4}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        14x+12dx=141x+3dx\int - \frac{1}{4 x + 12}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 3}\, dx

        1. пусть u=x+3u = x + 3.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x+3)\log{\left (x + 3 \right )}

        Таким образом, результат будет: 14log(x+3)- \frac{1}{4} \log{\left (x + 3 \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        14x4dx=141x1dx\int \frac{1}{4 x - 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1}\, dx

        1. пусть u=x1u = x - 1.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

        Таким образом, результат будет: 14log(x1)\frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )}

      Результат есть: 14log(x1)14log(x+3)\frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x + 3 \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      14log(x1)14log(x+3)+constant\frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x + 3 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    14log(x1)14log(x+3)+constant\frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x + 3 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10105-5
    Ответ [src]
      1                             
      /                             
     |                              
     |       1                  pi*I
     |  ------------ dx = -oo - ----
     |   2                       4  
     |  x  + 2*x - 3                
     |                              
    /                               
    0                               
    %a{\it \%a}
    Численный ответ [src]
    -11.0946597146672
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                              
     |                                               
     |      1                log(3 + x)   log(-1 + x)
     | ------------ dx = C - ---------- + -----------
     |  2                        4             4     
     | x  + 2*x - 3                                  
     |                                               
    /                                                
    log(x1)4log(x+3)4{{\log \left(x-1\right)}\over{4}}-{{\log \left(x+3\right)}\over{4}}