Интеграл x^3/(1-x^2)^(1/2) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1               
  /               
 |                
 |        3       
 |       x        
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 - x     
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = \frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**3, substep=RewriteRule(rewritten=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_u)], context=_u**2 - 1, symbol=_u), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta)], context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), context=sin(_theta)**3, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**3/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

2. Теперь упростить:

   $\begin{cases} - \frac{1}{3} \sqrt{- x^{2} + 1} \left(x^{2} + 2\right) & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} - \frac{1}{3} \sqrt{- x^{2} + 1} \left(x^{2} + 2\right) & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} - \frac{1}{3} \sqrt{- x^{2} + 1} \left(x^{2} + 2\right) & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                     
  /                     
 |                      
 |        3             
 |       x              
 |  ----------- dx = 2/3
 |     ________         
 |    /      2          
 |  \/  1 - x           
 |                      
/                       
0                       

$${{2}\over{3}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

0.666666666193048

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                                           
 |                                                                            
 |       3              //                        3/2                        \
 |      x               ||     ________   /     2\                           |
 | ----------- dx = C + |<    /      2    \1 - x /                           |
 |    ________          ||- \/  1 - x   + -----------  for And(x > -1, x < 1)|
 |   /      2           \\                     3                             /
 | \/  1 - x                                                                  
 |                                                                            
/                                                                             

$$-{{x^2\,\sqrt{1-x^2}}\over{3}}-{{2\,\sqrt{1-x^2}}\over{3}}$$

Упростить