Интеграл x^3/(1-x^2)^(1/2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1               
      /               
     |                
     |        3       
     |       x        
     |  ----------- dx
     |     ________   
     |    /      2    
     |  \/  1 - x     
     |                
    /                 
    0                 
    $$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**3, substep=RewriteRule(rewritten=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_u)], context=_u**2 - 1, symbol=_u), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta)], context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), context=sin(_theta)**3, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**3/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                     
      /                     
     |                      
     |        3             
     |       x              
     |  ----------- dx = 2/3
     |     ________         
     |    /      2          
     |  \/  1 - x           
     |                      
    /                       
    0                       
    $${{2}\over{3}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.666666666193048
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                                                           
     |                                                                            
     |       3              //                        3/2                        \
     |      x               ||     ________   /     2\                           |
     | ----------- dx = C + |<    /      2    \1 - x /                           |
     |    ________          ||- \/  1 - x   + -----------  for And(x > -1, x < 1)|
     |   /      2           \\                     3                             /
     | \/  1 - x                                                                  
     |                                                                            
    /                                                                             
    $$-{{x^2\,\sqrt{1-x^2}}\over{3}}-{{2\,\sqrt{1-x^2}}\over{3}}$$