Интеграл (2*x^3+10*x^2+24*x+14)/((x+2)^2*(x^2+6*x+18)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                            
      /                            
     |                             
     |     3       2               
     |  2*x  + 10*x  + 24*x + 14   
     |  ------------------------ dx
     |         2 / 2           \   
     |  (x + 2) *\x  + 6*x + 18/   
     |                             
    /                              
    0                              
    0124x+2x3+10x2+14(x+2)2(x2+6x+18)dx\int_{0}^{1} \frac{24 x + 2 x^{3} + 10 x^{2} + 14}{\left(x + 2\right)^{2} \left(x^{2} + 6 x + 18\right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        24x+2x3+10x2+14(x+2)2(x2+6x+18)=x1x2+6x+18+1x+21(x+2)2\frac{24 x + 2 x^{3} + 10 x^{2} + 14}{\left(x + 2\right)^{2} \left(x^{2} + 6 x + 18\right)} = \frac{x - 1}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          x1x2+6x+18=xx2+6x+181x2+6x+18\frac{x - 1}{x^{2} + 6 x + 18} = \frac{x}{x^{2} + 6 x + 18} - \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            12log(x2+6x+18)atan(x3+1)\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1x2+6x+18dx=1x2+6x+18dx\int - \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

              Но интеграл

              13atan(x3+1)\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

            Таким образом, результат будет: 13atan(x3+1)- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

          Результат есть: 12log(x2+6x+18)43atan(x3+1)\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \frac{4}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

        1. пусть u=x+2u = x + 2.

          Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log(x+2)\log{\left (x + 2 \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1(x+2)2dx=1(x+2)2dx\int - \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx

          1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть u=x+2u = x + 2.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1u2du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

                1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              1x+2- \frac{1}{x + 2}

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              1(x+2)2=1x2+4x+4\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 4 x + 4}

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

              1x2+4x+4=1(x+2)2\frac{1}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}

              None

          Таким образом, результат будет: 1x+2\frac{1}{x + 2}

        Результат есть: log(x+2)+12log(x2+6x+18)43atan(x3+1)+1x+2\log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \frac{4}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )} + \frac{1}{x + 2}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        24x+2x3+10x2+14(x+2)2(x2+6x+18)=2x3x4+10x3+46x2+96x+72+10x2x4+10x3+46x2+96x+72+24xx4+10x3+46x2+96x+72+14x4+10x3+46x2+96x+72\frac{24 x + 2 x^{3} + 10 x^{2} + 14}{\left(x + 2\right)^{2} \left(x^{2} + 6 x + 18\right)} = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72} + \frac{10 x^{2}}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72} + \frac{24 x}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72} + \frac{14}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2x3x4+10x3+46x2+96x+72dx=2x3x4+10x3+46x2+96x+72dx\int \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72}\, dx = 2 \int \frac{x^{3}}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            x3x4+10x3+46x2+96x+72=9x+21625x2+150x+450+3425x+5045(x+2)2\frac{x^{3}}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72} = - \frac{9 x + 216}{25 x^{2} + 150 x + 450} + \frac{34}{25 x + 50} - \frac{4}{5 \left(x + 2\right)^{2}}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              9x+21625x2+150x+450dx=925x+24x2+6x+18dx\int - \frac{9 x + 216}{25 x^{2} + 150 x + 450}\, dx = - \frac{9}{25} \int \frac{x + 24}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

                x+24x2+6x+18=xx2+6x+18+24x2+6x+18\frac{x + 24}{x^{2} + 6 x + 18} = \frac{x}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{24}{x^{2} + 6 x + 18}

              2. Интегрируем почленно:

                1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                  Но интеграл

                  12log(x2+6x+18)atan(x3+1)\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  24x2+6x+18dx=241x2+6x+18dx\int \frac{24}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx = 24 \int \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                    Но интеграл

                    13atan(x3+1)\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                  Таким образом, результат будет: 8atan(x3+1)8 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                Результат есть: 12log(x2+6x+18)+7atan(x3+1)\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} + 7 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: 950log(x2+6x+18)6325atan(x3+1)- \frac{9}{50} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \frac{63}{25} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              3425x+50dx=34251x+2dx\int \frac{34}{25 x + 50}\, dx = \frac{34}{25} \int \frac{1}{x + 2}\, dx

              1. пусть u=x+2u = x + 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+2)\log{\left (x + 2 \right )}

              Таким образом, результат будет: 3425log(x+2)\frac{34}{25} \log{\left (x + 2 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              45(x+2)2dx=451(x+2)2dx\int - \frac{4}{5 \left(x + 2\right)^{2}}\, dx = - \frac{4}{5} \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx

              1. пусть u=x+2u = x + 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1u2du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

                  1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                1x+2- \frac{1}{x + 2}

              Таким образом, результат будет: 45x+10\frac{4}{5 x + 10}

            Результат есть: 3425log(x+2)950log(x2+6x+18)6325atan(x3+1)+45x+10\frac{34}{25} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{9}{50} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \frac{63}{25} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )} + \frac{4}{5 x + 10}

          Таким образом, результат будет: 6825log(x+2)925log(x2+6x+18)12625atan(x3+1)+85x+10\frac{68}{25} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{9}{25} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \frac{126}{25} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )} + \frac{8}{5 x + 10}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          10x2x4+10x3+46x2+96x+72dx=10x2x4+10x3+46x2+96x+72dx\int \frac{10 x^{2}}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72}\, dx = 10 \int \frac{x^{2}}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            x2x4+10x3+46x2+96x+72=12x+6325x2+150x+4501225x+50+25(x+2)2\frac{x^{2}}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72} = \frac{12 x + 63}{25 x^{2} + 150 x + 450} - \frac{12}{25 x + 50} + \frac{2}{5 \left(x + 2\right)^{2}}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              12x+6325x2+150x+450dx=3254x+21x2+6x+18dx\int \frac{12 x + 63}{25 x^{2} + 150 x + 450}\, dx = \frac{3}{25} \int \frac{4 x + 21}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

                4x+21x2+6x+18=4xx2+6x+18+21x2+6x+18\frac{4 x + 21}{x^{2} + 6 x + 18} = \frac{4 x}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{21}{x^{2} + 6 x + 18}

              2. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  4xx2+6x+18dx=4xx2+6x+18dx\int \frac{4 x}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx = 4 \int \frac{x}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                    Но интеграл

                    12log(x2+6x+18)atan(x3+1)\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                  Таким образом, результат будет: 2log(x2+6x+18)4atan(x3+1)2 \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - 4 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  21x2+6x+18dx=211x2+6x+18dx\int \frac{21}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx = 21 \int \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                    Но интеграл

                    13atan(x3+1)\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                  Таким образом, результат будет: 7atan(x3+1)7 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                Результат есть: 2log(x2+6x+18)+3atan(x3+1)2 \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} + 3 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: 625log(x2+6x+18)+925atan(x3+1)\frac{6}{25} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} + \frac{9}{25} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1225x+50dx=12251x+2dx\int - \frac{12}{25 x + 50}\, dx = - \frac{12}{25} \int \frac{1}{x + 2}\, dx

              1. пусть u=x+2u = x + 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+2)\log{\left (x + 2 \right )}

              Таким образом, результат будет: 1225log(x+2)- \frac{12}{25} \log{\left (x + 2 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              25(x+2)2dx=251(x+2)2dx\int \frac{2}{5 \left(x + 2\right)^{2}}\, dx = \frac{2}{5} \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx

              1. пусть u=x+2u = x + 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1u2du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

                  1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                1x+2- \frac{1}{x + 2}

              Таким образом, результат будет: 25x+10- \frac{2}{5 x + 10}

            Результат есть: 1225log(x+2)+625log(x2+6x+18)+925atan(x3+1)25x+10- \frac{12}{25} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{6}{25} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} + \frac{9}{25} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )} - \frac{2}{5 x + 10}

          Таким образом, результат будет: 245log(x+2)+125log(x2+6x+18)+185atan(x3+1)4x+2- \frac{24}{5} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{12}{5} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} + \frac{18}{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )} - \frac{4}{x + 2}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          24xx4+10x3+46x2+96x+72dx=24xx4+10x3+46x2+96x+72dx\int \frac{24 x}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72}\, dx = 24 \int \frac{x}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            xx4+10x3+46x2+96x+72=7x+1850x2+300x+900+750x+10015(x+2)2\frac{x}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72} = - \frac{7 x + 18}{50 x^{2} + 300 x + 900} + \frac{7}{50 x + 100} - \frac{1}{5 \left(x + 2\right)^{2}}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              7x+1850x2+300x+900dx=1507x+18x2+6x+18dx\int - \frac{7 x + 18}{50 x^{2} + 300 x + 900}\, dx = - \frac{1}{50} \int \frac{7 x + 18}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

                7x+18x2+6x+18=7xx2+6x+18+18x2+6x+18\frac{7 x + 18}{x^{2} + 6 x + 18} = \frac{7 x}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{18}{x^{2} + 6 x + 18}

              2. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  7xx2+6x+18dx=7xx2+6x+18dx\int \frac{7 x}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx = 7 \int \frac{x}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                    Но интеграл

                    12log(x2+6x+18)atan(x3+1)\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                  Таким образом, результат будет: 72log(x2+6x+18)7atan(x3+1)\frac{7}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - 7 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  18x2+6x+18dx=181x2+6x+18dx\int \frac{18}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx = 18 \int \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                    Но интеграл

                    13atan(x3+1)\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                  Таким образом, результат будет: 6atan(x3+1)6 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                Результат есть: 72log(x2+6x+18)atan(x3+1)\frac{7}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: 7100log(x2+6x+18)+150atan(x3+1)- \frac{7}{100} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} + \frac{1}{50} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              750x+100dx=7501x+2dx\int \frac{7}{50 x + 100}\, dx = \frac{7}{50} \int \frac{1}{x + 2}\, dx

              1. пусть u=x+2u = x + 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+2)\log{\left (x + 2 \right )}

              Таким образом, результат будет: 750log(x+2)\frac{7}{50} \log{\left (x + 2 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              15(x+2)2dx=151(x+2)2dx\int - \frac{1}{5 \left(x + 2\right)^{2}}\, dx = - \frac{1}{5} \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx

              1. пусть u=x+2u = x + 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1u2du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

                  1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                1x+2- \frac{1}{x + 2}

              Таким образом, результат будет: 15x+10\frac{1}{5 x + 10}

            Результат есть: 750log(x+2)7100log(x2+6x+18)+150atan(x3+1)+15x+10\frac{7}{50} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{7}{100} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} + \frac{1}{50} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )} + \frac{1}{5 x + 10}

          Таким образом, результат будет: 8425log(x+2)4225log(x2+6x+18)+1225atan(x3+1)+245x+10\frac{84}{25} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{42}{25} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} + \frac{12}{25} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )} + \frac{24}{5 x + 10}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          14x4+10x3+46x2+96x+72dx=141x4+10x3+46x2+96x+72dx\int \frac{14}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72}\, dx = 14 \int \frac{1}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1x4+10x3+46x2+96x+72=x150x2+300x+900150x+100+110(x+2)2\frac{1}{x^{4} + 10 x^{3} + 46 x^{2} + 96 x + 72} = \frac{x - 1}{50 x^{2} + 300 x + 900} - \frac{1}{50 x + 100} + \frac{1}{10 \left(x + 2\right)^{2}}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              x150x2+300x+900dx=150x1x2+6x+18dx\int \frac{x - 1}{50 x^{2} + 300 x + 900}\, dx = \frac{1}{50} \int \frac{x - 1}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

              1. Перепишите подынтегральное выражение:

                x1x2+6x+18=xx2+6x+181x2+6x+18\frac{x - 1}{x^{2} + 6 x + 18} = \frac{x}{x^{2} + 6 x + 18} - \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}

              2. Интегрируем почленно:

                1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                  Но интеграл

                  12log(x2+6x+18)atan(x3+1)\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1x2+6x+18dx=1x2+6x+18dx\int - \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}\, dx

                  1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                    Но интеграл

                    13atan(x3+1)\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                  Таким образом, результат будет: 13atan(x3+1)- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

                Результат есть: 12log(x2+6x+18)43atan(x3+1)\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \frac{4}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: 1100log(x2+6x+18)275atan(x3+1)\frac{1}{100} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \frac{2}{75} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              150x+100dx=1501x+2dx\int - \frac{1}{50 x + 100}\, dx = - \frac{1}{50} \int \frac{1}{x + 2}\, dx

              1. пусть u=x+2u = x + 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+2)\log{\left (x + 2 \right )}

              Таким образом, результат будет: 150log(x+2)- \frac{1}{50} \log{\left (x + 2 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              110(x+2)2dx=1101(x+2)2dx\int \frac{1}{10 \left(x + 2\right)^{2}}\, dx = \frac{1}{10} \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx

              1. пусть u=x+2u = x + 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1u2du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

                  1u2du=1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                1x+2- \frac{1}{x + 2}

              Таким образом, результат будет: 110x+20- \frac{1}{10 x + 20}

            Результат есть: 150log(x+2)+1100log(x2+6x+18)275atan(x3+1)110x+20- \frac{1}{50} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{100} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \frac{2}{75} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )} - \frac{1}{10 x + 20}

          Таким образом, результат будет: 725log(x+2)+750log(x2+6x+18)2875atan(x3+1)75x+10- \frac{7}{25} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{7}{50} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \frac{28}{75} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )} - \frac{7}{5 x + 10}

        Результат есть: log(x+2)+12log(x2+6x+18)43atan(x3+1)+1x+2\log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - \frac{4}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )} + \frac{1}{x + 2}

    2. Теперь упростить:

      16x+12((x+2)(6log(x+2)+3log(x2+6x+18)8atan(x3+1))+6)\frac{1}{6 x + 12} \left(\left(x + 2\right) \left(6 \log{\left (x + 2 \right )} + 3 \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - 8 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}\right) + 6\right)

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      16x+12((x+2)(6log(x+2)+3log(x2+6x+18)8atan(x3+1))+6)+constant\frac{1}{6 x + 12} \left(\left(x + 2\right) \left(6 \log{\left (x + 2 \right )} + 3 \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - 8 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}\right) + 6\right)+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    16x+12((x+2)(6log(x+2)+3log(x2+6x+18)8atan(x3+1))+6)+constant\frac{1}{6 x + 12} \left(\left(x + 2\right) \left(6 \log{\left (x + 2 \right )} + 3 \log{\left (x^{2} + 6 x + 18 \right )} - 8 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{3} + 1 \right )}\right) + 6\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-200200
    Ответ [src]
      1                                                                                           
      /                                                                                           
     |                                                                                            
     |     3       2                                                                              
     |  2*x  + 10*x  + 24*x + 14        1   log(25)            4*atan(4/3)   log(18)   pi         
     |  ------------------------ dx = - - + ------- - log(2) - ----------- - ------- + -- + log(3)
     |         2 / 2           \        6      2                    3           2      3          
     |  (x + 2) *\x  + 6*x + 18/                                                                  
     |                                                                                            
    /                                                                                             
    0                                                                                             
    log252log182+log3log24arctan(43)3+π316{{\log 25}\over{2}}-{{\log 18}\over{2}}+\log 3-\log 2-{{4\,\arctan \left({{4}\over{3}}\right)}\over{3}}+{{\pi}\over{3}}-{{1}\over{6}}
    Численный ответ [src]
    0.213854402121964
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                                         
     |                                                                      /    x\             
     |    3       2                                 /      2      \   4*atan|1 + -|             
     | 2*x  + 10*x  + 24*x + 14            1     log\18 + x  + 6*x/         \    3/             
     | ------------------------ dx = C + ----- + ------------------ - ------------- + log(2 + x)
     |        2 / 2           \          2 + x           2                  3                   
     | (x + 2) *\x  + 6*x + 18/                                                                 
     |                                                                                          
    /                                                                                           
    log(x2+6x+18)24arctan(2x+66)3+log(x+2)+1x+2{{\log \left(x^2+6\,x+18\right)}\over{2}}-{{4\,\arctan \left({{2\,x +6}\over{6}}\right)}\over{3}}+\log \left(x+2\right)+{{1}\over{x+2}}