Интеграл (x^2+3)/(x^3-x^2-6*x) (dx)

  1                 
  /                 
 |                  
 |       2          
 |      x  + 3      
 |  ------------- dx
 |   3    2         
 |  x  - x  - 6*x   
 |                  
/                   
0                   

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 3}{- 6 x + x^{3} - x^{2}} = \frac{7}{10 x + 20} + \frac{4}{5 x - 15} - \frac{1}{2 x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{7}{10 x + 20}\, dx = \frac{7}{10} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{7}{10} \log{\left (x + 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4}{5 x - 15}\, dx = \frac{4}{5} \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{4}{5} \log{\left (x - 3 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2 x}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{4}{5} \log{\left (x - 3 \right )} + \frac{7}{10} \log{\left (x + 2 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 3}{- 6 x + x^{3} - x^{2}} = \frac{x^{2}}{- 6 x + x^{3} - x^{2}} + \frac{3}{- 6 x + x^{3} - x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{- 6 x + x^{3} - x^{2}} = \frac{2}{5 x + 10} + \frac{3}{5 x - 15}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{5 x + 10}\, dx = \frac{2}{5} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 2 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2}{5} \log{\left (x + 2 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{5 x - 15}\, dx = \frac{3}{5} \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 3 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3}{5} \log{\left (x - 3 \right )}$

         Результат есть: $\frac{3}{5} \log{\left (x - 3 \right )} + \frac{2}{5} \log{\left (x + 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{- 6 x + x^{3} - x^{2}}\, dx = 3 \int \frac{1}{- 6 x + x^{3} - x^{2}}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{- 6 x + x^{3} - x^{2}} = \frac{1}{10 x + 20} + \frac{1}{15 x - 45} - \frac{1}{6 x}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{10 x + 20}\, dx = \frac{1}{10} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{10} \log{\left (x + 2 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{15 x - 45}\, dx = \frac{1}{15} \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

               1. пусть $u = x - 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 3 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{15} \log{\left (x - 3 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{6 x}\, dx = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{x}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \log{\left (x \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{6} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{15} \log{\left (x - 3 \right )} + \frac{1}{10} \log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{5} \log{\left (x - 3 \right )} + \frac{3}{10} \log{\left (x + 2 \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{4}{5} \log{\left (x - 3 \right )} + \frac{7}{10} \log{\left (x + 2 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{4}{5} \log{\left (x - 3 \right )} + \frac{7}{10} \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{1}{2} \log{\left (x \right )} + \frac{4}{5} \log{\left (x - 3 \right )} + \frac{7}{10} \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                                
  /                                
 |                                 
 |       2                         
 |      x  + 3               4*pi*I
 |  ------------- dx = -oo + ------
 |   3    2                    5   
 |  x  - x  - 6*x                  
 |                                 
/                                  
0                                  

-22.0857695778073

  /                                                            
 |                                                             
 |      2                                                      
 |     x  + 3             log(x)   4*log(-3 + x)   7*log(2 + x)
 | ------------- dx = C - ------ + ------------- + ------------
 |  3    2                  2            5              10     
 | x  - x  - 6*x                                               
 |                                                             
/