Интеграл (x^2+3)/(x^3-x^2-6*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                 
      /                 
     |                  
     |       2          
     |      x  + 3      
     |  ------------- dx
     |   3    2         
     |  x  - x  - 6*x   
     |                  
    /                   
    0                   
    01x2+3x3x26xdx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x2+3x3x26x=710(x+2)+45(x3)12x\frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{7}{10 \left(x + 2\right)} + \frac{4}{5 \left(x - 3\right)} - \frac{1}{2 x}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          710(x+2)dx=71x+2dx10\int \frac{7}{10 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{7 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{10}

          1. пусть u=x+2u = x + 2.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

          Таким образом, результат будет: 7log(x+2)10\frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          45(x3)dx=41x3dx5\int \frac{4}{5 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{5}

          1. пусть u=x3u = x - 3.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x3)\log{\left(x - 3 \right)}

          Таким образом, результат будет: 4log(x3)5\frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (12x)dx=1xdx2\int \left(- \frac{1}{2 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{2}

          1. Интеграл 1x\frac{1}{x} есть log(x)\log{\left(x \right)}.

          Таким образом, результат будет: log(x)2- \frac{\log{\left(x \right)}}{2}

        Результат есть: log(x)2+4log(x3)5+7log(x+2)10- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x2+3x3x26x=x2x3x26x+3x3x26x\frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{x^{2}}{x^{3} - x^{2} - 6 x} + \frac{3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          x2x3x26x=25(x+2)+35(x3)\frac{x^{2}}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{2}{5 \left(x + 2\right)} + \frac{3}{5 \left(x - 3\right)}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            25(x+2)dx=21x+2dx5\int \frac{2}{5 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{5}

            1. пусть u=x+2u = x + 2.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Таким образом, результат будет: 2log(x+2)5\frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            35(x3)dx=31x3dx5\int \frac{3}{5 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{5}

            1. пусть u=x3u = x - 3.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x3)\log{\left(x - 3 \right)}

            Таким образом, результат будет: 3log(x3)5\frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{5}

          Результат есть: 3log(x3)5+2log(x+2)5\frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3x3x26xdx=31x3x26xdx\int \frac{3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1x3x26x=110(x+2)+115(x3)16x\frac{1}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{1}{10 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{15 \left(x - 3\right)} - \frac{1}{6 x}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              110(x+2)dx=1x+2dx10\int \frac{1}{10 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{10}

              1. пусть u=x+2u = x + 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

              Таким образом, результат будет: log(x+2)10\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{10}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              115(x3)dx=1x3dx15\int \frac{1}{15 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{15}

              1. пусть u=x3u = x - 3.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x3)\log{\left(x - 3 \right)}

              Таким образом, результат будет: log(x3)15\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{15}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (16x)dx=1xdx6\int \left(- \frac{1}{6 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{6}

              1. Интеграл 1x\frac{1}{x} есть log(x)\log{\left(x \right)}.

              Таким образом, результат будет: log(x)6- \frac{\log{\left(x \right)}}{6}

            Результат есть: log(x)6+log(x3)15+log(x+2)10- \frac{\log{\left(x \right)}}{6} + \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{15} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{10}

          Таким образом, результат будет: log(x)2+log(x3)5+3log(x+2)10- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{3 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}

        Результат есть: log(x)2+4log(x3)5+7log(x+2)10- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      log(x)2+4log(x3)5+7log(x+2)10+constant- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    log(x)2+4log(x3)5+7log(x+2)10+constant- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2020
    Ответ [src]
          4*pi*I
    -oo + ------
            5   
    +4iπ5-\infty + \frac{4 i \pi}{5}
    =
    =
          4*pi*I
    -oo + ------
            5   
    +4iπ5-\infty + \frac{4 i \pi}{5}
    Численный ответ [src]
    -22.0857695778073
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                            
     |                                                             
     |      2                                                      
     |     x  + 3             log(x)   4*log(-3 + x)   7*log(2 + x)
     | ------------- dx = C - ------ + ------------- + ------------
     |  3    2                  2            5              10     
     | x  - x  - 6*x                                               
     |                                                             
    /                                                              
    x2+3x3x26xdx=Clog(x)2+4log(x3)5+7log(x+2)10\int \frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}