Интеграл (x^2+3)/(x^3-x^2-6*x) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |       2          
 |      x  + 3      
 |  ------------- dx
 |   3    2         
 |  x  - x  - 6*x   
 |                  
/                   
0                   

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{7}{10 \left(x + 2\right)} + \frac{4}{5 \left(x - 3\right)} - \frac{1}{2 x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{7}{10 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{7 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{10}$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4}{5 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{5}$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 3 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{2 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{2}$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{2}$

      Результат есть: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{x^{2}}{x^{3} - x^{2} - 6 x} + \frac{3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{2}{5 \left(x + 2\right)} + \frac{3}{5 \left(x - 3\right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{5 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{5}$

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x + 2 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{5 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx}{5}$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x - 3 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{5}$

         Результат есть: $\frac{3 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{3} - x^{2} - 6 x} = \frac{1}{10 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{15 \left(x - 3\right)} - \frac{1}{6 x}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{10 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{10}$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 2 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{10}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{15 \left(x - 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 3}\, dx}{15}$

               1. пусть $u = x - 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x - 3 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{15}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{6 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{6}$

               1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{6}$

            Результат есть: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{6} + \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{15} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{3 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}$

      Результат есть: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ

      4*pi*I
-oo + ------
        5   

$$-\infty + \frac{4 i \pi}{5}$$

=

=

      4*pi*I
-oo + ------
        5   

$$-\infty + \frac{4 i \pi}{5}$$

Численный ответ

-22.0857695778073

Ответ (Неопределённый)

  /                                                            
 |                                                             
 |      2                                                      
 |     x  + 3             log(x)   4*log(-3 + x)   7*log(2 + x)
 | ------------- dx = C - ------ + ------------- + ------------
 |  3    2                  2            5              10     
 | x  - x  - 6*x                                               
 |                                                             
/                                                              

$$\int \frac{x^{2} + 3}{x^{3} - x^{2} - 6 x}\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \log{\left(x - 3 \right)}}{5} + \frac{7 \log{\left(x + 2 \right)}}{10}$$