Интеграл (1-8*x^2)*cos(4*x) (dx)

Вы ввели

  1                       
  /                       
 |                        
 |  /       2\            
 |  \1 - 8*x /*cos(4*x) dx
 |                        
/                         
0                         

$$\int\limits_{0}^{1} \left(1 - 8 x^{2}\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - 8 x^{2}\right) \cos{\left(4 x \right)} = - 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 8 \int x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = \frac{x}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$

                  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      Результат есть: $- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = 1 - 8 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 16 x$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = - 4 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. пусть $u = 4 x$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - 8 x^{2}\right) \cos{\left(4 x \right)} = - 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 8 \int x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = \frac{x}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$

                  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      Результат есть: $- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

          3*sin(4)
-cos(4) - --------
             2    

$$- \cos{\left(4 \right)} - \frac{3 \sin{\left(4 \right)}}{2}$$

=

=

          3*sin(4)
-cos(4) - --------
             2    

$$- \cos{\left(4 \right)} - \frac{3 \sin{\left(4 \right)}}{2}$$

Численный ответ

1.7888473638255

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                  
 |                                                                   
 | /       2\                   sin(4*x)                   2         
 | \1 - 8*x /*cos(4*x) dx = C + -------- - x*cos(4*x) - 2*x *sin(4*x)
 |                                 2                                 
/                                                                    

$$\int \left(1 - 8 x^{2}\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx = C - 2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} - x \cos{\left(4 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}$$

График