Интеграл (3*x^3-x^2+2*x-4)/(x^2-3*x+2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                       
      /                       
     |                        
     |     3    2             
     |  3*x  - x  + 2*x - 4   
     |  ------------------- dx
     |       2                
     |      x  - 3*x + 2      
     |                        
    /                         
    0                         
    012x+3x3x24x23x+2dx\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3 x^{3} - x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2x+3x3x24x23x+2=3x+8+20x2\frac{2 x + 3 x^{3} - x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x + 2} = 3 x + 8 + \frac{20}{x - 2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3xdx=3xdx\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 3x22\frac{3 x^{2}}{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          8dx=8x\int 8\, dx = 8 x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          20x2dx=201x2dx\int \frac{20}{x - 2}\, dx = 20 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

          1. пусть u=x2u = x - 2.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x2)\log{\left (x - 2 \right )}

          Таким образом, результат будет: 20log(x2)20 \log{\left (x - 2 \right )}

        Результат есть: 3x22+8x+20log(x2)\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + 20 \log{\left (x - 2 \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2x+3x3x24x23x+2=3x3x23x+2x2x23x+2+2xx23x+24x23x+2\frac{2 x + 3 x^{3} - x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{3 x^{3}}{x^{2} - 3 x + 2} - \frac{x^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{2 x}{x^{2} - 3 x + 2} - \frac{4}{x^{2} - 3 x + 2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3x3x23x+2dx=3x3x23x+2dx\int \frac{3 x^{3}}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx = 3 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            x3x23x+2=x+31x1+8x2\frac{x^{3}}{x^{2} - 3 x + 2} = x + 3 - \frac{1}{x - 1} + \frac{8}{x - 2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

              xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              3dx=3x\int 3\, dx = 3 x

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1x1dx=1x1dx\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx

              1. пусть u=x1u = x - 1.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: log(x1)- \log{\left (x - 1 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              8x2dx=81x2dx\int \frac{8}{x - 2}\, dx = 8 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

              1. пусть u=x2u = x - 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x2)\log{\left (x - 2 \right )}

              Таким образом, результат будет: 8log(x2)8 \log{\left (x - 2 \right )}

            Результат есть: x22+3x+8log(x2)log(x1)\frac{x^{2}}{2} + 3 x + 8 \log{\left (x - 2 \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}

          Таким образом, результат будет: 3x22+9x+24log(x2)3log(x1)\frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 24 \log{\left (x - 2 \right )} - 3 \log{\left (x - 1 \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          x2x23x+2dx=x2x23x+2dx\int - \frac{x^{2}}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            x2x23x+2=11x1+4x2\frac{x^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} = 1 - \frac{1}{x - 1} + \frac{4}{x - 2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1dx=x\int 1\, dx = x

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1x1dx=1x1dx\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx

              1. пусть u=x1u = x - 1.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: log(x1)- \log{\left (x - 1 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              4x2dx=41x2dx\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

              1. пусть u=x2u = x - 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x2)\log{\left (x - 2 \right )}

              Таким образом, результат будет: 4log(x2)4 \log{\left (x - 2 \right )}

            Результат есть: x+4log(x2)log(x1)x + 4 \log{\left (x - 2 \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}

          Таким образом, результат будет: x4log(x2)+log(x1)- x - 4 \log{\left (x - 2 \right )} + \log{\left (x - 1 \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2xx23x+2dx=2xx23x+2dx\int \frac{2 x}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            xx23x+2=1x1+2x2\frac{x}{x^{2} - 3 x + 2} = - \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1x1dx=1x1dx\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx

              1. пусть u=x1u = x - 1.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: log(x1)- \log{\left (x - 1 \right )}

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              2x2dx=21x2dx\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

              1. пусть u=x2u = x - 2.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x2)\log{\left (x - 2 \right )}

              Таким образом, результат будет: 2log(x2)2 \log{\left (x - 2 \right )}

            Результат есть: 2log(x2)log(x1)2 \log{\left (x - 2 \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}

          Таким образом, результат будет: 4log(x2)2log(x1)4 \log{\left (x - 2 \right )} - 2 \log{\left (x - 1 \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          4x23x+2dx=41x23x+2dx\int - \frac{4}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1x23x+2=1x1+1x2\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1x1dx=1x1dx\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx

              1. пусть u=x1u = x - 1.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x1)\log{\left (x - 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: log(x1)- \log{\left (x - 1 \right )}

            1. пусть u=x2u = x - 2.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x2)\log{\left (x - 2 \right )}

            Результат есть: log(x2)log(x1)\log{\left (x - 2 \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}

          Таким образом, результат будет: 4log(x2)+4log(x1)- 4 \log{\left (x - 2 \right )} + 4 \log{\left (x - 1 \right )}

        Результат есть: 3x22+8x+20log(x2)\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + 20 \log{\left (x - 2 \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      3x22+8x+20log(x2)+constant\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + 20 \log{\left (x - 2 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    3x22+8x+20log(x2)+constant\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + 20 \log{\left (x - 2 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-500500
    Ответ [src]
      1                                          
      /                                          
     |                                           
     |     3    2                                
     |  3*x  - x  + 2*x - 4                      
     |  ------------------- dx = 19/2 - 20*log(2)
     |       2                                   
     |      x  - 3*x + 2                         
     |                                           
    /                                            
    0                                            
    19220log2{{19}\over{2}}-20\,\log 2
    Численный ответ [src]
    -4.36294361119891
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                        
     |                                                         
     |    3    2                                              2
     | 3*x  - x  + 2*x - 4                                 3*x 
     | ------------------- dx = C + 8*x + 20*log(-2 + x) + ----
     |      2                                               2  
     |     x  - 3*x + 2                                        
     |                                                         
    /                                                          
    3x2+16x2+20log(x2){{3\,x^2+16\,x}\over{2}}+20\,\log \left(x-2\right)