Интеграл (3*x^3-x^2+2*x-4)/(x^2-3*x+2) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                       
  /                       
 |                        
 |     3    2             
 |  3*x  - x  + 2*x - 4   
 |  ------------------- dx
 |       2                
 |      x  - 3*x + 2      
 |                        
/                         
0                         

$$\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3 x^{3} - x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x + 3 x^{3} - x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x + 2} = 3 x + 8 + \frac{20}{x - 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 8\, dx = 8 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{20}{x - 2}\, dx = 20 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $20 \log{\left (x - 2 \right )}$

      Результат есть: $\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + 20 \log{\left (x - 2 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x + 3 x^{3} - x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{3 x^{3}}{x^{2} - 3 x + 2} - \frac{x^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{2 x}{x^{2} - 3 x + 2} - \frac{4}{x^{2} - 3 x + 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3 x^{3}}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx = 3 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{3}}{x^{2} - 3 x + 2} = x + 3 - \frac{1}{x - 1} + \frac{8}{x - 2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 3\, dx = 3 x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = x - 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 1 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{8}{x - 2}\, dx = 8 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. пусть $u = x - 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $8 \log{\left (x - 2 \right )}$

            Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + 3 x + 8 \log{\left (x - 2 \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + 24 \log{\left (x - 2 \right )} - 3 \log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x^{2}}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} = 1 - \frac{1}{x - 1} + \frac{4}{x - 2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = x - 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 1 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. пусть $u = x - 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x - 2 \right )}$

            Результат есть: $x + 4 \log{\left (x - 2 \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- x - 4 \log{\left (x - 2 \right )} + \log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 x}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x^{2} - 3 x + 2} = - \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = x - 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 1 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. пусть $u = x - 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x - 2 \right )}$

            Результат есть: $2 \log{\left (x - 2 \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x - 2 \right )} - 2 \log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{4}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = x - 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 1 \right )}$

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 2 \right )}$

            Результат есть: $\log{\left (x - 2 \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 4 \log{\left (x - 2 \right )} + 4 \log{\left (x - 1 \right )}$

      Результат есть: $\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + 20 \log{\left (x - 2 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + 20 \log{\left (x - 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + 20 \log{\left (x - 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                                          
  /                                          
 |                                           
 |     3    2                                
 |  3*x  - x  + 2*x - 4                      
 |  ------------------- dx = 19/2 - 20*log(2)
 |       2                                   
 |      x  - 3*x + 2                         
 |                                           
/                                            
0                                            

$${{19}\over{2}}-20\,\log 2$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

-4.36294361119891

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                        
 |                                                         
 |    3    2                                              2
 | 3*x  - x  + 2*x - 4                                 3*x 
 | ------------------- dx = C + 8*x + 20*log(-2 + x) + ----
 |      2                                               2  
 |     x  - 3*x + 2                                        
 |                                                         
/                                                          

$${{3\,x^2+16\,x}\over{2}}+20\,\log \left(x-2\right)$$

Упростить