Интеграл 1/(5+4*x) (dx)

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |  5 + 4*x   
 |            
/             
0             

1. пусть $u = 4 x + 5$.

   Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

   $\int \frac{1}{u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (u \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{1}{4} \log{\left (4 x + 5 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \log{\left (4 x + 5 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{4} \log{\left (4 x + 5 \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                               
  /                               
 |                                
 |     1           log(5)   log(9)
 |  ------- dx = - ------ + ------
 |  5 + 4*x          4        4   
 |                                
/                                 
0                                 

0.14694666622553

  /                             
 |                              
 |    1             log(5 + 4*x)
 | ------- dx = C + ------------
 | 5 + 4*x               4      
 |                              
/