Интеграл 1/(5-12*x-9*x^2) (dx)

  1                   
  /                   
 |                    
 |         1          
 |  --------------- dx
 |                2   
 |  5 - 12*x - 9*x    
 |                    
/                     
0                     

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{- 9 x^{2} + - 12 x + 5} = \frac{1}{18 x + 30} - \frac{1}{18 x - 6}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{18 x + 30}\, dx = \frac{1}{6} \int \frac{1}{3 x + 5}\, dx$

      1. пусть $u = 3 x + 5$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \log{\left (3 x + 5 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{18} \log{\left (3 x + 5 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{18 x - 6}\, dx = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{3 x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = 3 x - 1$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \log{\left (3 x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{18} \log{\left (3 x - 1 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{18} \log{\left (3 x - 1 \right )} + \frac{1}{18} \log{\left (3 x + 5 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{18} \log{\left (3 x - 1 \right )} + \frac{1}{18} \log{\left (3 x + 5 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{1}{18} \log{\left (3 x - 1 \right )} + \frac{1}{18} \log{\left (3 x + 5 \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                                                       
  /                                                       
 |                                                        
 |         1               log(2)   log(5)   log(8)   pi*I
 |  --------------- dx = - ------ - ------ + ------ + ----
 |                2          18       18       18      18 
 |  5 - 12*x - 9*x                                        
 |                                                        
/                                                         
0                                                         

-6.50721595881408

  /                                                     
 |                                                      
 |        1                 log(-1 + 3*x)   log(5 + 3*x)
 | --------------- dx = C - ------------- + ------------
 |               2                18             18     
 | 5 - 12*x - 9*x                                       
 |                                                      
/