Интеграл 1/(5-12*x-9*x^2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                   
      /                   
     |                    
     |         1          
     |  --------------- dx
     |                2   
     |  5 - 12*x - 9*x    
     |                    
    /                     
    0                     
    0119x2+12x+5dx\int_{0}^{1} \frac{1}{- 9 x^{2} + - 12 x + 5}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      19x2+12x+5=118x+30118x6\frac{1}{- 9 x^{2} + - 12 x + 5} = \frac{1}{18 x + 30} - \frac{1}{18 x - 6}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        118x+30dx=1613x+5dx\int \frac{1}{18 x + 30}\, dx = \frac{1}{6} \int \frac{1}{3 x + 5}\, dx

        1. пусть u=3x+5u = 3 x + 5.

          Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1udu=131udu\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Таким образом, результат будет: 13log(u)\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          13log(3x+5)\frac{1}{3} \log{\left (3 x + 5 \right )}

        Таким образом, результат будет: 118log(3x+5)\frac{1}{18} \log{\left (3 x + 5 \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        118x6dx=1613x1dx\int - \frac{1}{18 x - 6}\, dx = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{3 x - 1}\, dx

        1. пусть u=3x1u = 3 x - 1.

          Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1udu=131udu\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Таким образом, результат будет: 13log(u)\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          13log(3x1)\frac{1}{3} \log{\left (3 x - 1 \right )}

        Таким образом, результат будет: 118log(3x1)- \frac{1}{18} \log{\left (3 x - 1 \right )}

      Результат есть: 118log(3x1)+118log(3x+5)- \frac{1}{18} \log{\left (3 x - 1 \right )} + \frac{1}{18} \log{\left (3 x + 5 \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      118log(3x1)+118log(3x+5)+constant- \frac{1}{18} \log{\left (3 x - 1 \right )} + \frac{1}{18} \log{\left (3 x + 5 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    118log(3x1)+118log(3x+5)+constant- \frac{1}{18} \log{\left (3 x - 1 \right )} + \frac{1}{18} \log{\left (3 x + 5 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10105-5
    Ответ [src]
      1                                                       
      /                                                       
     |                                                        
     |         1               log(2)   log(5)   log(8)   pi*I
     |  --------------- dx = - ------ - ------ + ------ + ----
     |                2          18       18       18      18 
     |  5 - 12*x - 9*x                                        
     |                                                        
    /                                                         
    0                                                         
    log818log518log218{{\log 8}\over{18}}-{{\log 5}\over{18}}-{{\log 2}\over{18}}
    Численный ответ [src]
    -6.50721595881408
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                     
     |                                                      
     |        1                 log(-1 + 3*x)   log(5 + 3*x)
     | --------------- dx = C - ------------- + ------------
     |               2                18             18     
     | 5 - 12*x - 9*x                                       
     |                                                      
    /                                                       
    log(3x+5)18log(3x1)18{{\log \left(3\,x+5\right)}\over{18}}-{{\log \left(3\,x-1\right) }\over{18}}