Интеграл (sqrt(x)+2/(sqrt(x)))*dx (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                   
      /                   
     |                    
     |  /  ___     2  \   
     |  |\/ x  + -----| dx
     |  |          ___|   
     |  \        \/ x /   
     |                    
    /                     
    0                     
    01x+2xdx\int_{0}^{1} \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}\, dx
    Подробное решение
    1. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

        xdx=2x323\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        2xdx=21xdx\int \frac{2}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx

        1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть u=xu = \sqrt{x}.

            Тогда пусть du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} и подставим 2du2 du:

            1du\int 1\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1du=21du\int 1\, du = 2 \int 1\, du

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                1du=u\int 1\, du = u

              Таким образом, результат будет: 2u2 u

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            2x2 \sqrt{x}

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1x=1x\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}

          2. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            1xdx=2x\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}

        Таким образом, результат будет: 4x4 \sqrt{x}

      Результат есть: 2x323+4x\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 4 \sqrt{x}

    2. Теперь упростить:

      2x3(x+6)\frac{2 \sqrt{x}}{3} \left(x + 6\right)

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      2x3(x+6)+constant\frac{2 \sqrt{x}}{3} \left(x + 6\right)+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    2x3(x+6)+constant\frac{2 \sqrt{x}}{3} \left(x + 6\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010050
    Ответ [src]
      1                          
      /                          
     |                           
     |  /  ___     2  \          
     |  |\/ x  + -----| dx = 14/3
     |  |          ___|          
     |  \        \/ x /          
     |                           
    /                            
    0                            
    143{{14}\over{3}}
    Численный ответ [src]
    4.6666666656055
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                         
     |                                       3/2
     | /  ___     2  \              ___   2*x   
     | |\/ x  + -----| dx = C + 4*\/ x  + ------
     | |          ___|                      3   
     | \        \/ x /                          
     |                                          
    /                                           
    2x323+4x{{2\,x^{{{3}\over{2}}}}\over{3}}+4\,\sqrt{x}