Интеграл (sqrt(x)+2/(sqrt(x)))*dx (dx)

  1                   
  /                   
 |                    
 |  /  ___     2  \   
 |  |\/ x  + -----| dx
 |  |          ___|   
 |  \        \/ x /   
 |                    
/                     
0                     

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \sqrt{x}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

            $\int 1\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 1\, du = 2 \int 1\, du$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $2 u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sqrt{x}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

         2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      Таким образом, результат будет: $4 \sqrt{x}$

   Результат есть: $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 4 \sqrt{x}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2 \sqrt{x}}{3} \left(x + 6\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 \sqrt{x}}{3} \left(x + 6\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{2 \sqrt{x}}{3} \left(x + 6\right)+ \mathrm{constant}$

  1                          
  /                          
 |                           
 |  /  ___     2  \          
 |  |\/ x  + -----| dx = 14/3
 |  |          ___|          
 |  \        \/ x /          
 |                           
/                            
0                            

4.6666666656055

  /                                         
 |                                       3/2
 | /  ___     2  \              ___   2*x   
 | |\/ x  + -----| dx = C + 4*\/ x  + ------
 | |          ___|                      3   
 | \        \/ x /                          
 |                                          
/