Интеграл (sqrt(x+1)+1)/(sqrt(x+1)-1) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                 
  /                 
 |                  
 |    _______       
 |  \/ x + 1  + 1   
 |  ------------- dx
 |    _______       
 |  \/ x + 1  - 1   
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} - 1}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{x + 1}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ и подставим $du$:

      $\int \frac{2 u^{2} + 2 u}{u - 1}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{2 u^{2} + 2 u}{u - 1} = 2 u + 4 + \frac{4}{u - 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $u^{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 4\, du = 4 u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4}{u - 1}\, du = 4 \int \frac{1}{u - 1}\, du$

            1. пусть $u = u - 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (u - 1 \right )}$

         Результат есть: $u^{2} + 4 u + 4 \log{\left (u - 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \log{\left (\sqrt{x + 1} - 1 \right )} + 1$

   Метод #2

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{\sqrt{u} + 1}{\sqrt{u} - 1}\, du$

      1. пусть $u = \sqrt{u}$.

         Тогда пусть $du = \frac{du}{2 \sqrt{u}}$ и подставим $du$:

         $\int \frac{2 u^{2} + 2 u}{u - 1}\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{2 u^{2} + 2 u}{u - 1} = 2 u + 4 + \frac{4}{u - 1}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $u^{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 4\, du = 4 u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{4}{u - 1}\, du = 4 \int \frac{1}{u - 1}\, du$

               1. пусть $u = u - 1$.

                  Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (u - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (u - 1 \right )}$

            Результат есть: $u^{2} + 4 u + 4 \log{\left (u - 1 \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $4 \sqrt{u} + u + 4 \log{\left (\sqrt{u} - 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \log{\left (\sqrt{x + 1} - 1 \right )} + 1$

2. Теперь упростить:

   $x + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \log{\left (\sqrt{x + 1} - 1 \right )} + 1$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \log{\left (\sqrt{x + 1} - 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \log{\left (\sqrt{x + 1} - 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                      
  /                      
 |                       
 |    _______            
 |  \/ x + 1  + 1        
 |  ------------- dx = oo
 |    _______            
 |  \/ x + 1  - 1        
 |                       
/                        
0                        

$${\it \%a}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

178.275697116556

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                                  
 |                                                                   
 |   _______                                                         
 | \/ x + 1  + 1                      _______        /       _______\
 | ------------- dx = 1 + C + x + 4*\/ x + 1  + 4*log\-1 + \/ x + 1 /
 |   _______                                                         
 | \/ x + 1  - 1                                                     
 |                                                                   
/                                                                    

$$2\,\left(2\,\log \left(\sqrt{x+1}-1\right)+{{4\,\sqrt{x+1}+x+1 }\over{2}}\right)$$

Упростить