Интеграл (sqrt(x+1)+1)/(sqrt(x+1)-1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                 
      /                 
     |                  
     |    _______       
     |  \/ x + 1  + 1   
     |  ------------- dx
     |    _______       
     |  \/ x + 1  - 1   
     |                  
    /                   
    0                   
    01x+1+1x+11dx\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} - 1}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x+1u = \sqrt{x + 1}.

        Тогда пусть du=dx2x+1du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}} и подставим dudu:

        2u2+2uu1du\int \frac{2 u^{2} + 2 u}{u - 1}\, du

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2u2+2uu1=2u+4+4u1\frac{2 u^{2} + 2 u}{u - 1} = 2 u + 4 + \frac{4}{u - 1}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            2udu=2udu\int 2 u\, du = 2 \int u\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Таким образом, результат будет: u2u^{2}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            4du=4u\int 4\, du = 4 u

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            4u1du=41u1du\int \frac{4}{u - 1}\, du = 4 \int \frac{1}{u - 1}\, du

            1. пусть u=u1u = u - 1.

              Тогда пусть du=dudu = du и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(u1)\log{\left (u - 1 \right )}

            Таким образом, результат будет: 4log(u1)4 \log{\left (u - 1 \right )}

          Результат есть: u2+4u+4log(u1)u^{2} + 4 u + 4 \log{\left (u - 1 \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x+4x+1+4log(x+11)+1x + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \log{\left (\sqrt{x + 1} - 1 \right )} + 1

      Метод #2

      1. пусть u=x+1u = x + 1.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        u+1u1du\int \frac{\sqrt{u} + 1}{\sqrt{u} - 1}\, du

        1. пусть u=uu = \sqrt{u}.

          Тогда пусть du=du2udu = \frac{du}{2 \sqrt{u}} и подставим dudu:

          2u2+2uu1du\int \frac{2 u^{2} + 2 u}{u - 1}\, du

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            2u2+2uu1=2u+4+4u1\frac{2 u^{2} + 2 u}{u - 1} = 2 u + 4 + \frac{4}{u - 1}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              2udu=2udu\int 2 u\, du = 2 \int u\, du

              1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

                udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Таким образом, результат будет: u2u^{2}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              4du=4u\int 4\, du = 4 u

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              4u1du=41u1du\int \frac{4}{u - 1}\, du = 4 \int \frac{1}{u - 1}\, du

              1. пусть u=u1u = u - 1.

                Тогда пусть du=dudu = du и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(u1)\log{\left (u - 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: 4log(u1)4 \log{\left (u - 1 \right )}

            Результат есть: u2+4u+4log(u1)u^{2} + 4 u + 4 \log{\left (u - 1 \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          4u+u+4log(u1)4 \sqrt{u} + u + 4 \log{\left (\sqrt{u} - 1 \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x+4x+1+4log(x+11)+1x + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \log{\left (\sqrt{x + 1} - 1 \right )} + 1

    2. Теперь упростить:

      x+4x+1+4log(x+11)+1x + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \log{\left (\sqrt{x + 1} - 1 \right )} + 1

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x+4x+1+4log(x+11)+1+constantx + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \log{\left (\sqrt{x + 1} - 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x+4x+1+4log(x+11)+1+constantx + 4 \sqrt{x + 1} + 4 \log{\left (\sqrt{x + 1} - 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-100100
    Ответ [src]
      1                      
      /                      
     |                       
     |    _______            
     |  \/ x + 1  + 1        
     |  ------------- dx = oo
     |    _______            
     |  \/ x + 1  - 1        
     |                       
    /                        
    0                        
    %a{\it \%a}
    Численный ответ [src]
    178.275697116556
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                  
     |                                                                   
     |   _______                                                         
     | \/ x + 1  + 1                      _______        /       _______\
     | ------------- dx = 1 + C + x + 4*\/ x + 1  + 4*log\-1 + \/ x + 1 /
     |   _______                                                         
     | \/ x + 1  - 1                                                     
     |                                                                   
    /                                                                    
    2(2log(x+11)+4x+1+x+12)2\,\left(2\,\log \left(\sqrt{x+1}-1\right)+{{4\,\sqrt{x+1}+x+1 }\over{2}}\right)