Интеграл (sqrt(x+1)+1)/(sqrt(x+1)-1) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                 
      /                 
     |                  
     |    _______       
     |  \/ x + 1  + 1   
     |  ------------- dx
     |    _______       
     |  \/ x + 1  - 1   
     |                  
    /                   
    0                   
    $$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} - 1}\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть :

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл есть .

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть :

              Таким образом, результат будет:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл есть .

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            Результат есть:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Если сейчас заменить ещё в:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                      
      /                      
     |                       
     |    _______            
     |  \/ x + 1  + 1        
     |  ------------- dx = oo
     |    _______            
     |  \/ x + 1  - 1        
     |                       
    /                        
    0                        
    $${\it \%a}$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    178.275697116556
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                                                                  
     |                                                                   
     |   _______                                                         
     | \/ x + 1  + 1                      _______        /       _______\
     | ------------- dx = 1 + C + x + 4*\/ x + 1  + 4*log\-1 + \/ x + 1 /
     |   _______                                                         
     | \/ x + 1  - 1                                                     
     |                                                                   
    /                                                                    
    $$2\,\left(2\,\log \left(\sqrt{x+1}-1\right)+{{4\,\sqrt{x+1}+x+1 }\over{2}}\right)$$