Интеграл (x+4)*sin(3*x) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                    
  /                    
 |                     
 |  (x + 4)*sin(3*x) dx
 |                     
/                      
0                      

$$\int_{0}^{1} \left(x + 4\right) \sin{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x + 4$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}\, dx = - \frac{1}{3} \int \cos{\left (3 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{9} \sin{\left (3 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 4\right) \sin{\left (3 x \right )} = x \sin{\left (3 x \right )} + 4 \sin{\left (3 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}\, dx = - \frac{1}{3} \int \cos{\left (3 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{9} \sin{\left (3 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4 \sin{\left (3 x \right )}\, dx = 4 \int \sin{\left (3 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

      Результат есть: $- \frac{x}{3} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{1}{9} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{4}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3} \left(x + 4\right) \cos{\left (3 x \right )} + \frac{1}{9} \sin{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \left(x + 4\right) \cos{\left (3 x \right )} + \frac{1}{9} \sin{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                                            
  /                                            
 |                        4   5*cos(3)   sin(3)
 |  (x + 4)*sin(3*x) dx = - - -------- + ------
 |                        3      3         9   
/                                              
0                                              

$${{\sin 3-15\,\cos 3}\over{9}}+{{4}\over{3}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

2.99900082856295

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                     
 |                           sin(3*x)   (4 + x)*cos(3*x)
 | (x + 4)*sin(3*x) dx = C + -------- - ----------------
 |                              9              3        
/                                                       

$${{{{\sin \left(3\,x\right)-3\,x\,\cos \left(3\,x\right)}\over{3}}-4 \,\cos \left(3\,x\right)}\over{3}}$$

Упростить