Интеграл (x+4)*sin(3*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                    
      /                    
     |                     
     |  (x + 4)*sin(3*x) dx
     |                     
    /                      
    0                      
    01(x+4)sin(3x)dx\int\limits_{0}^{1} \left(x + 4\right) \sin{\left(3 x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (x+4)sin(3x)=xsin(3x)+4sin(3x)\left(x + 4\right) \sin{\left(3 x \right)} = x \sin{\left(3 x \right)} + 4 \sin{\left(3 x \right)}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(x)=xu{\left(x \right)} = x и пусть dv(x)=sin(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

          Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            sin(u)9du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              sin(u)3du=sin(u)du3\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: cos(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            cos(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (cos(3x)3)dx=cos(3x)dx3\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            cos(u)9du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)3du=cos(u)du3\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Таким образом, результат будет: sin(3x)9- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          4sin(3x)dx=4sin(3x)dx\int 4 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            sin(u)9du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              sin(u)3du=sin(u)du3\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: cos(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            cos(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Таким образом, результат будет: 4cos(3x)3- \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Результат есть: xcos(3x)3+sin(3x)94cos(3x)3- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=x+4u{\left(x \right)} = x + 4 и пусть dv(x)=sin(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

        Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

        1. пусть u=3xu = 3 x.

          Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

          sin(u)9du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            sin(u)3du=sin(u)du3\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Таким образом, результат будет: cos(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          cos(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        (cos(3x)3)dx=cos(3x)dx3\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

        1. пусть u=3xu = 3 x.

          Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

          cos(u)9du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            cos(u)3du=cos(u)du3\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Таким образом, результат будет: sin(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          sin(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Таким образом, результат будет: sin(3x)9- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (x+4)sin(3x)=xsin(3x)+4sin(3x)\left(x + 4\right) \sin{\left(3 x \right)} = x \sin{\left(3 x \right)} + 4 \sin{\left(3 x \right)}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(x)=xu{\left(x \right)} = x и пусть dv(x)=sin(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

          Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            sin(u)9du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              sin(u)3du=sin(u)du3\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: cos(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            cos(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (cos(3x)3)dx=cos(3x)dx3\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            cos(u)9du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)3du=cos(u)du3\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Таким образом, результат будет: sin(3x)9- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          4sin(3x)dx=4sin(3x)dx\int 4 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx

          1. пусть u=3xu = 3 x.

            Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

            sin(u)9du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              sin(u)3du=sin(u)du3\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: cos(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            cos(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Таким образом, результат будет: 4cos(3x)3- \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Результат есть: xcos(3x)3+sin(3x)94cos(3x)3- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      xcos(3x)3+sin(3x)94cos(3x)3+constant- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    xcos(3x)3+sin(3x)94cos(3x)3+constant- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
    Ответ [src]
    4   5*cos(3)   sin(3)
    - - -------- + ------
    3      3         9   
    sin(3)9+435cos(3)3\frac{\sin{\left(3 \right)}}{9} + \frac{4}{3} - \frac{5 \cos{\left(3 \right)}}{3}
    =
    =
    4   5*cos(3)   sin(3)
    - - -------- + ------
    3      3         9   
    sin(3)9+435cos(3)3\frac{\sin{\left(3 \right)}}{9} + \frac{4}{3} - \frac{5 \cos{\left(3 \right)}}{3}
    Численный ответ [src]
    2.99900082856295
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                            
     |                           4*cos(3*x)   sin(3*x)   x*cos(3*x)
     | (x + 4)*sin(3*x) dx = C - ---------- + -------- - ----------
     |                               3           9           3     
    /                                                              
    (x+4)sin(3x)dx=Cxcos(3x)3+sin(3x)94cos(3x)3\int \left(x + 4\right) \sin{\left(3 x \right)}\, dx = C - \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}
    График
    Интеграл (x+4)*sin(3*x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/6/24/f83d9942f0ba56a99070260ae039a.png