Интеграл (x+4)*sin(3*x) (dx)

Вы ввели

  1                    
  /                    
 |                     
 |  (x + 4)*sin(3*x) dx
 |                     
/                      
0                      

$$\int\limits_{0}^{1} \left(x + 4\right) \sin{\left(3 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 4\right) \sin{\left(3 x \right)} = x \sin{\left(3 x \right)} + 4 \sin{\left(3 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$

      Результат есть: $- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = x + 4$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 4\right) \sin{\left(3 x \right)} = x \sin{\left(3 x \right)} + 4 \sin{\left(3 x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$

      Результат есть: $- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

4   5*cos(3)   sin(3)
- - -------- + ------
3      3         9   

$$\frac{\sin{\left(3 \right)}}{9} + \frac{4}{3} - \frac{5 \cos{\left(3 \right)}}{3}$$

=

=

4   5*cos(3)   sin(3)
- - -------- + ------
3      3         9   

$$\frac{\sin{\left(3 \right)}}{9} + \frac{4}{3} - \frac{5 \cos{\left(3 \right)}}{3}$$

Численный ответ

2.99900082856295

Ответ (Неопределённый)

  /                                                            
 |                           4*cos(3*x)   sin(3*x)   x*cos(3*x)
 | (x + 4)*sin(3*x) dx = C - ---------- + -------- - ----------
 |                               3           9           3     
/                                                              

$$\int \left(x + 4\right) \sin{\left(3 x \right)}\, dx = C - \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$$

График