Интеграл sin(4*x)*cos(5*x) (dx)

Вы ввели

  1                     
  /                     
 |                      
 |  sin(4*x)*cos(5*x) dx
 |                      
/                       
0                       

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = - 128 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 160 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 40 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 64 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 80 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 128 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 128 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int \left(u^{8} - u^{6}\right)\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Результат есть: $\frac{u^{9}}{9} - \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$

               1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

                  $\int u^{8}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Результат есть: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Метод #3

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$

               1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

                  $\int u^{8}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Результат есть: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{128 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 160 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 160 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$

      2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int \left(u^{6} - u^{4}\right)\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Результат есть: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{160 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - 32 \cos^{5}{\left(x \right)}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 40 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 40 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Результат есть: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- 8 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{40 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 64 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 64 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{64 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 80 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 80 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $16 \cos^{5}{\left(x \right)}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 20 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   Результат есть: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \cos^{7}{\left(x \right)} - 24 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{4 \left(- 32 \cos^{6}{\left(x \right)} + 72 \cos^{4}{\left(x \right)} - 54 \cos^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{9}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{4 \left(- 32 \cos^{6}{\left(x \right)} + 72 \cos^{4}{\left(x \right)} - 54 \cos^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{4 \left(- 32 \cos^{6}{\left(x \right)} + 72 \cos^{4}{\left(x \right)} - 54 \cos^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  4   4*cos(4)*cos(5)   5*sin(4)*sin(5)
- - + --------------- + ---------------
  9          9                 9       

$$- \frac{4}{9} + \frac{4 \cos{\left(4 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{9} + \frac{5 \sin{\left(4 \right)} \sin{\left(5 \right)}}{9}$$

=

=

  4   4*cos(4)*cos(5)   5*sin(4)*sin(5)
- - + --------------- + ---------------
  9          9                 9       

$$- \frac{4}{9} + \frac{4 \cos{\left(4 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{9} + \frac{5 \sin{\left(4 \right)} \sin{\left(5 \right)}}{9}$$

Численный ответ

-0.123674943627893

Ответ (Неопределённый)

  /                                                            9            3   
 |                                  5            7      128*cos (x)   20*cos (x)
 | sin(4*x)*cos(5*x) dx = C - 24*cos (x) + 32*cos (x) - ----------- + ----------
 |                                                           9            3     
/                                                                               

$$\int \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = C - \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \cos^{7}{\left(x \right)} - 24 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$$

График