Интеграл (1-x)*(1-2*x)*(1-3*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                               
      /                               
     |                                
     |  (1 - x)*(1 - 2*x)*(1 - 3*x) dx
     |                                
    /                                 
    0                                 
    01(x+1)(2x+1)(3x+1)dx\int_{0}^{1} \left(- x + 1\right) \left(- 2 x + 1\right) \left(- 3 x + 1\right)\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=xu = - x.

        Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим dudu:

        6u311u26u1du\int - 6 u^{3} - 11 u^{2} - 6 u - 1\, du

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            6u3du=6u3du\int - 6 u^{3}\, du = - 6 \int u^{3}\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Таким образом, результат будет: 3u42- \frac{3 u^{4}}{2}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            11u2du=11u2du\int - 11 u^{2}\, du = - 11 \int u^{2}\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Таким образом, результат будет: 11u33- \frac{11 u^{3}}{3}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            6udu=6udu\int - 6 u\, du = - 6 \int u\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Таким образом, результат будет: 3u2- 3 u^{2}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1du=u\int -1\, du = - u

          Результат есть: 3u4211u333u2u- \frac{3 u^{4}}{2} - \frac{11 u^{3}}{3} - 3 u^{2} - u

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        3x42+11x333x2+x- \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{11 x^{3}}{3} - 3 x^{2} + x

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (x+1)(2x+1)(3x+1)=6x3+11x26x+1\left(- x + 1\right) \left(- 2 x + 1\right) \left(- 3 x + 1\right) = - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x + 1

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          6x3dx=6x3dx\int - 6 x^{3}\, dx = - 6 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 3x42- \frac{3 x^{4}}{2}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          11x2dx=11x2dx\int 11 x^{2}\, dx = 11 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 11x33\frac{11 x^{3}}{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          6xdx=6xdx\int - 6 x\, dx = - 6 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 3x2- 3 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Результат есть: 3x42+11x333x2+x- \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{11 x^{3}}{3} - 3 x^{2} + x

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (x+1)(2x+1)(3x+1)=6x3+11x23x2xx+1\left(- x + 1\right) \left(- 2 x + 1\right) \left(- 3 x + 1\right) = - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 3 x - 2 x - x + 1

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          6x3dx=6x3dx\int - 6 x^{3}\, dx = - 6 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 3x42- \frac{3 x^{4}}{2}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          11x2dx=11x2dx\int 11 x^{2}\, dx = 11 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 11x33\frac{11 x^{3}}{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3xdx=3xdx\int - 3 x\, dx = - 3 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 3x22- \frac{3 x^{2}}{2}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2xdx=2xdx\int - 2 x\, dx = - 2 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: x2- x^{2}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          xdx=xdx\int - x\, dx = - \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: x22- \frac{x^{2}}{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Результат есть: 3x42+11x333x2+x- \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{11 x^{3}}{3} - 3 x^{2} + x

    2. Теперь упростить:

      x6(9x3+22x218x+6)\frac{x}{6} \left(- 9 x^{3} + 22 x^{2} - 18 x + 6\right)

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x6(9x3+22x218x+6)+constant\frac{x}{6} \left(- 9 x^{3} + 22 x^{2} - 18 x + 6\right)+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x6(9x3+22x218x+6)+constant\frac{x}{6} \left(- 9 x^{3} + 22 x^{2} - 18 x + 6\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2500025000
    Ответ [src]
      1                                     
      /                                     
     |                                      
     |  (1 - x)*(1 - 2*x)*(1 - 3*x) dx = 1/6
     |                                      
    /                                       
    0                                       
    16{{1}\over{6}}
    Численный ответ [src]
    0.166666666666667
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                   4       3
     |                                             2   3*x    11*x 
     | (1 - x)*(1 - 2*x)*(1 - 3*x) dx = C + x - 3*x  - ---- + -----
     |                                                  2       3  
    /                                                              
    9x422x3+18x26x6-{{9\,x^4-22\,x^3+18\,x^2-6\,x}\over{6}}