Интеграл (1-x)*(1-2*x)*(1-3*x) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                               
  /                               
 |                                
 |  (1 - x)*(1 - 2*x)*(1 - 3*x) dx
 |                                
/                                 
0                                 

$$\int_{0}^{1} \left(- x + 1\right) \left(- 2 x + 1\right) \left(- 3 x + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int - 6 u^{3} - 11 u^{2} - 6 u - 1\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 6 u^{3}\, du = - 6 \int u^{3}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{3 u^{4}}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 11 u^{2}\, du = - 11 \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{11 u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - 6 u\, du = - 6 \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- 3 u^{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, du = - u$

         Результат есть: $- \frac{3 u^{4}}{2} - \frac{11 u^{3}}{3} - 3 u^{2} - u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{11 x^{3}}{3} - 3 x^{2} + x$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + 1\right) \left(- 2 x + 1\right) \left(- 3 x + 1\right) = - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 6 x^{3}\, dx = - 6 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 11 x^{2}\, dx = 11 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{11 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 6 x\, dx = - 6 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $- \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{11 x^{3}}{3} - 3 x^{2} + x$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + 1\right) \left(- 2 x + 1\right) \left(- 3 x + 1\right) = - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 3 x - 2 x - x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 6 x^{3}\, dx = - 6 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{4}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 11 x^{2}\, dx = 11 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{11 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 3 x\, dx = - 3 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2 x\, dx = - 2 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- x^{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $- \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{11 x^{3}}{3} - 3 x^{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x}{6} \left(- 9 x^{3} + 22 x^{2} - 18 x + 6\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{6} \left(- 9 x^{3} + 22 x^{2} - 18 x + 6\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{6} \left(- 9 x^{3} + 22 x^{2} - 18 x + 6\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |  (1 - x)*(1 - 2*x)*(1 - 3*x) dx = 1/6
 |                                      
/                                       
0                                       

$${{1}\over{6}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

0.166666666666667

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                   4       3
 |                                             2   3*x    11*x 
 | (1 - x)*(1 - 2*x)*(1 - 3*x) dx = C + x - 3*x  - ---- + -----
 |                                                  2       3  
/                                                              

$$-{{9\,x^4-22\,x^3+18\,x^2-6\,x}\over{6}}$$

Упростить