Интеграл sin(1/x)*(1/x^2) (dx)

  1          
  /          
 |           
 |     /1\   
 |  sin|-|   
 |     \x/   
 |  ------ dx
 |     2     
 |    x      
 |           
/            
0            

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} = \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$

   2. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\cos{\left (\frac{1}{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\cos{\left (\frac{1}{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                                      
  /                                      
 |                                       
 |     /1\                               
 |  sin|-|                               
 |     \x/                               
 |  ------ dx = <-1 + cos(1), cos(1) + 1>
 |     2                                 
 |    x                                  
 |                                       
/                                        
0                                        

-1.74295524279167e+18

  /                      
 |                       
 |    /1\                
 | sin|-|                
 |    \x/             /1\
 | ------ dx = C + cos|-|
 |    2               \x/
 |   x                   
 |                       
/