Интеграл sin(1/x)*(1/x^2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |     /1\   
     |  sin|-|   
     |     \x/   
     |  ------ dx
     |     2     
     |    x      
     |           
    /            
    0            
    011x2sin(1x)dx\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=1xu = \frac{1}{x}.

        Тогда пусть du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} и подставим du- du:

        sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          sin(u)du=sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \int \sin{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

          Таким образом, результат будет: cos(u)\cos{\left (u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        cos(1x)\cos{\left (\frac{1}{x} \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        1x2sin(1x)=1x2sin(1x)\frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} = \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}

      2. пусть u=1xu = \frac{1}{x}.

        Тогда пусть du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} и подставим du- du:

        sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          sin(u)du=sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \int \sin{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

          Таким образом, результат будет: cos(u)\cos{\left (u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        cos(1x)\cos{\left (\frac{1}{x} \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      cos(1x)+constant\cos{\left (\frac{1}{x} \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    cos(1x)+constant\cos{\left (\frac{1}{x} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-100100
    Ответ [src]
      1                                      
      /                                      
     |                                       
     |     /1\                               
     |  sin|-|                               
     |     \x/                               
     |  ------ dx = <-1 + cos(1), cos(1) + 1>
     |     2                                 
     |    x                                  
     |                                       
    /                                        
    0                                        
    01sin(1x)x2  dx\int_{0}^{1}{{{\sin \left({{1}\over{x}}\right)}\over{x^2}}\;dx}
    Численный ответ [src]
    -1.74295524279167e+18
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                      
     |                       
     |    /1\                
     | sin|-|                
     |    \x/             /1\
     | ------ dx = C + cos|-|
     |    2               \x/
     |   x                   
     |                       
    /                        
    cos(1x)\cos \left({{1}\over{x}}\right)