Интеграл x*sin(x)^2*dx (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
      /               
     |                
     |       2        
     |  x*sin (x)*1 dx
     |                
    /                 
    0                 
    01xsin2(x)1dx\int\limits_{0}^{1} x \sin^{2}{\left(x \right)} 1\, dx
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=xu{\left(x \right)} = x и пусть dv(x)=sin2(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}.

      Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        sin2(x)=12cos(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (cos(2x)2)dx=cos(2x)dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. пусть u=2xu = 2 x.

            Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            cos(u)4du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              cos(u)2du=cos(u)du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Таким образом, результат будет: sin(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Результат есть: x2sin(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        x2dx=xdx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Таким образом, результат будет: x24\frac{x^{2}}{4}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        (sin(2x)4)dx=sin(2x)dx4\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

        1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть u=2xu = 2 x.

            Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            sin(u)4du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              sin(u)2du=sin(u)du2\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Таким образом, результат будет: cos(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            cos(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Метод #2

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            2sin(x)cos(x)dx=2sin(x)cos(x)dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

              Метод #1

              1. пусть u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Тогда пусть du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx и подставим du- du:

                udu\int u\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  (u)du=udu\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du

                  1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                    udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Таким образом, результат будет: u22- \frac{u^{2}}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                cos2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Метод #2

              1. пусть u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Тогда пусть du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx и подставим dudu:

                udu\int u\, du

                1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

                  udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                sin2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Таким образом, результат будет: cos2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

        Таким образом, результат будет: cos(2x)8\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}

      Результат есть: x24+cos(2x)8\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}

    3. Теперь упростить:

      x24xsin(2x)4cos(2x)8\frac{x^{2}}{4} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      x24xsin(2x)4cos(2x)8+constant\frac{x^{2}}{4} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x24xsin(2x)4cos(2x)8+constant\frac{x^{2}}{4} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
    Ответ [src]
           2                   
    1   sin (1)   cos(1)*sin(1)
    - + ------- - -------------
    4      4            2      
    sin(1)cos(1)2+sin2(1)4+14- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{4} + \frac{1}{4}
    =
    =
           2                   
    1   sin (1)   cos(1)*sin(1)
    - + ------- - -------------
    4      4            2      
    sin(1)cos(1)2+sin2(1)4+14- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{4} + \frac{1}{4}
    Численный ответ [src]
    0.199693997861972
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                     
     |                       2                              
     |      2               x    cos(2*x)     /x   sin(2*x)\
     | x*sin (x)*1 dx = C - -- - -------- + x*|- - --------|
     |                      4       8         \2      4    /
    /                                                       
    xsin2(x)1dx=Cx24+x(x2sin(2x)4)cos(2x)8\int x \sin^{2}{\left(x \right)} 1\, dx = C - \frac{x^{2}}{4} + x \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}
    График
    Интеграл x*sin(x)^2*dx (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/5/f0/3995eff33e285e2b650aff9c0ec5f.png