Интеграл x/(x+4)*(x-4) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                 
      /                 
     |                  
     |    x             
     |  -----*(x - 4) dx
     |  x + 4           
     |                  
    /                   
    0                   
    $$\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 4} \left(x - 4\right)\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл есть :

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть .

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл есть :

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл есть .

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл есть .

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            Результат есть:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                                                 
      /                                                 
     |                                                  
     |    x                                             
     |  -----*(x - 4) dx = -15/2 - 32*log(4) + 32*log(5)
     |  x + 4                                           
     |                                                  
    /                                                   
    0                                                   
    $${{64\,\log 5-15}\over{2}}-32\,\log 4$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    -0.359406357945288
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                                               
     |                         2                      
     |   x                    x                       
     | -----*(x - 4) dx = C + -- - 8*x + 32*log(4 + x)
     | x + 4                  2                       
     |                                                
    /                                                 
    $$32\,\log \left(x+4\right)+{{x^2-16\,x}\over{2}}$$