Интеграл x/(x+4)*(x-4) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |    x             
 |  -----*(x - 4) dx
 |  x + 4           
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 4} \left(x - 4\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x + 4} \left(x - 4\right) = x - 8 + \frac{32}{x + 4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -8\, dx = - 8 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{32}{x + 4}\, dx = 32 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

         1. пусть $u = x + 4$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $32 \log{\left (x + 4 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 8 x + 32 \log{\left (x + 4 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x + 4} \left(x - 4\right) = \frac{x^{2}}{x + 4} - \frac{4 x}{x + 4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x + 4} = x - 4 + \frac{16}{x + 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -4\, dx = - 4 x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{16}{x + 4}\, dx = 16 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

            1. пусть $u = x + 4$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 4 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $16 \log{\left (x + 4 \right )}$

         Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 4 x + 16 \log{\left (x + 4 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{4 x}{x + 4}\, dx = - 4 \int \frac{x}{x + 4}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x + 4} = 1 - \frac{4}{x + 4}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{4}{x + 4}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

               1. пусть $u = x + 4$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 4 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 4 \log{\left (x + 4 \right )}$

            Результат есть: $x - 4 \log{\left (x + 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 4 x + 16 \log{\left (x + 4 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 8 x + 32 \log{\left (x + 4 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} - 8 x + 32 \log{\left (x + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} - 8 x + 32 \log{\left (x + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                 
  /                                                 
 |                                                  
 |    x                                             
 |  -----*(x - 4) dx = -15/2 - 32*log(4) + 32*log(5)
 |  x + 4                                           
 |                                                  
/                                                   
0                                                   

$${{64\,\log 5-15}\over{2}}-32\,\log 4$$

Численный ответ

-0.359406357945288

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                         2                      
 |   x                    x                       
 | -----*(x - 4) dx = C + -- - 8*x + 32*log(4 + x)
 | x + 4                  2                       
 |                                                
/                                                 

$$32\,\log \left(x+4\right)+{{x^2-16\,x}\over{2}}$$