Интеграл x/(x+4)*(x-4) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                 
      /                 
     |                  
     |    x             
     |  -----*(x - 4) dx
     |  x + 4           
     |                  
    /                   
    0                   
    01xx+4(x4)dx\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 4} \left(x - 4\right)\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        xx+4(x4)=x8+32x+4\frac{x}{x + 4} \left(x - 4\right) = x - 8 + \frac{32}{x + 4}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          8dx=8x\int -8\, dx = - 8 x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          32x+4dx=321x+4dx\int \frac{32}{x + 4}\, dx = 32 \int \frac{1}{x + 4}\, dx

          1. пусть u=x+4u = x + 4.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+4)\log{\left (x + 4 \right )}

          Таким образом, результат будет: 32log(x+4)32 \log{\left (x + 4 \right )}

        Результат есть: x228x+32log(x+4)\frac{x^{2}}{2} - 8 x + 32 \log{\left (x + 4 \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        xx+4(x4)=x2x+44xx+4\frac{x}{x + 4} \left(x - 4\right) = \frac{x^{2}}{x + 4} - \frac{4 x}{x + 4}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          x2x+4=x4+16x+4\frac{x^{2}}{x + 4} = x - 4 + \frac{16}{x + 4}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            4dx=4x\int -4\, dx = - 4 x

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            16x+4dx=161x+4dx\int \frac{16}{x + 4}\, dx = 16 \int \frac{1}{x + 4}\, dx

            1. пусть u=x+4u = x + 4.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x+4)\log{\left (x + 4 \right )}

            Таким образом, результат будет: 16log(x+4)16 \log{\left (x + 4 \right )}

          Результат есть: x224x+16log(x+4)\frac{x^{2}}{2} - 4 x + 16 \log{\left (x + 4 \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          4xx+4dx=4xx+4dx\int - \frac{4 x}{x + 4}\, dx = - 4 \int \frac{x}{x + 4}\, dx

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            xx+4=14x+4\frac{x}{x + 4} = 1 - \frac{4}{x + 4}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1dx=x\int 1\, dx = x

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              4x+4dx=41x+4dx\int - \frac{4}{x + 4}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x + 4}\, dx

              1. пусть u=x+4u = x + 4.

                Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                log(x+4)\log{\left (x + 4 \right )}

              Таким образом, результат будет: 4log(x+4)- 4 \log{\left (x + 4 \right )}

            Результат есть: x4log(x+4)x - 4 \log{\left (x + 4 \right )}

          Таким образом, результат будет: 4x+16log(x+4)- 4 x + 16 \log{\left (x + 4 \right )}

        Результат есть: x228x+32log(x+4)\frac{x^{2}}{2} - 8 x + 32 \log{\left (x + 4 \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      x228x+32log(x+4)+constant\frac{x^{2}}{2} - 8 x + 32 \log{\left (x + 4 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x228x+32log(x+4)+constant\frac{x^{2}}{2} - 8 x + 32 \log{\left (x + 4 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-10001000
    Ответ [src]
      1                                                 
      /                                                 
     |                                                  
     |    x                                             
     |  -----*(x - 4) dx = -15/2 - 32*log(4) + 32*log(5)
     |  x + 4                                           
     |                                                  
    /                                                   
    0                                                   
    64log515232log4{{64\,\log 5-15}\over{2}}-32\,\log 4
    Численный ответ [src]
    -0.359406357945288
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                               
     |                         2                      
     |   x                    x                       
     | -----*(x - 4) dx = C + -- - 8*x + 32*log(4 + x)
     | x + 4                  2                       
     |                                                
    /                                                 
    32log(x+4)+x216x232\,\log \left(x+4\right)+{{x^2-16\,x}\over{2}}