Интеграл x/(3*x^2-2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1            
      /            
     |             
     |     x       
     |  -------- dx
     |     2       
     |  3*x  - 2   
     |             
    /              
    0              
    $$\int_{0}^{1} \frac{x}{3 x^{2} - 2}\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дан интеграл:
      /           
     |            
     |    x       
     | -------- dx
     |    2       
     | 3*x  - 2   
     |            
    /             
    Перепишем подинтегральную функцию
               /     6*x      \
               |--------------|
               |   2          |
       x       \3*x  + 0*x - 2/
    -------- = ----------------
       2              6        
    3*x  - 2                   
    или
      /             
     |              
     |    x         
     | -------- dx  
     |    2        =
     | 3*x  - 2     
     |              
    /               
      
      /                 
     |                  
     |      6*x         
     | -------------- dx
     |    2             
     | 3*x  + 0*x - 2   
     |                  
    /                   
    --------------------
             6          
    В интеграле
      /                 
     |                  
     |      6*x         
     | -------------- dx
     |    2             
     | 3*x  + 0*x - 2   
     |                  
    /                   
    --------------------
             6          
    сделаем замену
           2
    u = 3*x 
    тогда
    интеграл =
      /                       
     |                        
     |   1                    
     | ------ du              
     | -2 + u                 
     |                        
    /              log(-2 + u)
    ------------ = -----------
         6              6     
    делаем обратную замену
      /                                  
     |                                   
     |      6*x                          
     | -------------- dx                 
     |    2                              
     | 3*x  + 0*x - 2                    
     |                        /        2\
    /                      log\-2 + 3*x /
    -------------------- = --------------
             6                   6       
    Решением будет:
           /        2\
        log\-2 + 3*x /
    C + --------------
              6       
    График
    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                              
      /                              
     |                               
     |     x            log(2)   pi*I
     |  -------- dx = - ------ - ----
     |     2              6       6  
     |  3*x  - 2                     
     |                               
    /                                
    0                                
    $$-{{\log 2}\over{6}}$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    -0.343722002225261
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                               
     |                      /   2    \
     |    x              log\3*x  - 2/
     | -------- dx = C + -------------
     |    2                    6      
     | 3*x  - 2                       
     |                                
    /                                 
    $${{\log \left(3\,x^2-2\right)}\over{6}}$$