Интеграл (8*x^3+27*x^2+40*x+28)/((x+4)*(x+2)^2) (dx)

Вы ввели

  1                            
  /                            
 |                             
 |     3       2               
 |  8*x  + 27*x  + 40*x + 28   
 |  ------------------------ dx
 |                     2       
 |      (x + 4)*(x + 2)        
 |                             
/                              
0                              

$$\int_{0}^{1} \frac{40 x + 8 x^{3} + 27 x^{2} + 28}{\left(x + 2\right)^{2} \left(x + 4\right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{40 x + 8 x^{3} + 27 x^{2} + 28}{\left(x + 2\right)^{2} \left(x + 4\right)} = 8 - \frac{53}{x + 4} + \frac{16}{x + 2} - \frac{4}{\left(x + 2\right)^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 8\, dx = 8 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{53}{x + 4}\, dx = - 53 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

         1. пусть $u = x + 4$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 53 \log{\left (x + 4 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{16}{x + 2}\, dx = 16 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $16 \log{\left (x + 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{4}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx = - 4 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{x + 2}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 4 x + 4}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}$

               None

         Таким образом, результат будет: $\frac{4}{x + 2}$

      Результат есть: $8 x + 16 \log{\left (x + 2 \right )} - 53 \log{\left (x + 4 \right )} + \frac{4}{x + 2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{40 x + 8 x^{3} + 27 x^{2} + 28}{\left(x + 2\right)^{2} \left(x + 4\right)} = \frac{8 x^{3}}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16} + \frac{27 x^{2}}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16} + \frac{40 x}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16} + \frac{28}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{8 x^{3}}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16}\, dx = 8 \int \frac{x^{3}}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{3}}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16} = 1 - \frac{16}{x + 4} + \frac{8}{x + 2} - \frac{4}{\left(x + 2\right)^{2}}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{16}{x + 4}\, dx = - 16 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

               1. пусть $u = x + 4$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 4 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 16 \log{\left (x + 4 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{8}{x + 2}\, dx = 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $8 \log{\left (x + 2 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{4}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx = - 4 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{x + 2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{4}{x + 2}$

            Результат есть: $x + 8 \log{\left (x + 2 \right )} - 16 \log{\left (x + 4 \right )} + \frac{4}{x + 2}$

         Таким образом, результат будет: $8 x + 64 \log{\left (x + 2 \right )} - 128 \log{\left (x + 4 \right )} + \frac{32}{x + 2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{27 x^{2}}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16}\, dx = 27 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16} = \frac{4}{x + 4} - \frac{3}{x + 2} + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{4}{x + 4}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

               1. пусть $u = x + 4$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 4 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x + 4 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{3}{x + 2}\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left (x + 2 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{x + 2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{x + 2}$

            Результат есть: $- 3 \log{\left (x + 2 \right )} + 4 \log{\left (x + 4 \right )} - \frac{2}{x + 2}$

         Таким образом, результат будет: $- 81 \log{\left (x + 2 \right )} + 108 \log{\left (x + 4 \right )} - \frac{54}{x + 2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{40 x}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16}\, dx = 40 \int \frac{x}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16} = - \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x + 4}\, dx = - \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

               1. пусть $u = x + 4$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 4 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 4 \right )}$

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 2 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{x + 2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x + 2}$

            Результат есть: $\log{\left (x + 2 \right )} - \log{\left (x + 4 \right )} + \frac{1}{x + 2}$

         Таким образом, результат будет: $40 \log{\left (x + 2 \right )} - 40 \log{\left (x + 4 \right )} + \frac{40}{x + 2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{28}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16}\, dx = 28 \int \frac{1}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{3} + 8 x^{2} + 20 x + 16} = \frac{1}{4 x + 16} - \frac{1}{4 x + 8} + \frac{1}{2 \left(x + 2\right)^{2}}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{4 x + 16}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

               1. пусть $u = x + 4$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 4 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (x + 4 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{4 x + 8}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (x + 2 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2 \left(x + 2\right)^{2}}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{x + 2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2 x + 4}$

            Результат есть: $- \frac{1}{4} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{4} \log{\left (x + 4 \right )} - \frac{1}{2 x + 4}$

         Таким образом, результат будет: $- 7 \log{\left (x + 2 \right )} + 7 \log{\left (x + 4 \right )} - \frac{14}{x + 2}$

      Результат есть: $8 x + 16 \log{\left (x + 2 \right )} - 53 \log{\left (x + 4 \right )} + \frac{4}{x + 2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{x + 2} \left(\left(x + 2\right) \left(8 x + 16 \log{\left (x + 2 \right )} - 53 \log{\left (x + 4 \right )}\right) + 4\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{x + 2} \left(\left(x + 2\right) \left(8 x + 16 \log{\left (x + 2 \right )} - 53 \log{\left (x + 4 \right )}\right) + 4\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x + 2} \left(\left(x + 2\right) \left(8 x + 16 \log{\left (x + 2 \right )} - 53 \log{\left (x + 4 \right )}\right) + 4\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                   
  /                                                                                   
 |                                                                                    
 |     3       2                                                                      
 |  8*x  + 27*x  + 40*x + 28                                                          
 |  ------------------------ dx = 22/3 - 53*log(5) - 16*log(2) + 16*log(3) + 53*log(4)
 |                     2                                                              
 |      (x + 4)*(x + 2)                                                               
 |                                                                                    
/                                                                                     
0                                                                                     

$$-53\,\log 5+53\,\log 4+16\,\log 3-16\,\log 2+{{22}\over{3}}$$

Численный ответ

1.99416684341085

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                             
 |                                                                              
 |    3       2                                                                 
 | 8*x  + 27*x  + 40*x + 28                            4                        
 | ------------------------ dx = C - 53*log(4 + x) + ----- + 8*x + 16*log(2 + x)
 |                    2                              2 + x                      
 |     (x + 4)*(x + 2)                                                          
 |                                                                              
/                                                                               

$$-53\,\log \left(x+4\right)+16\,\log \left(x+2\right)+{{4}\over{x+2 }}+8\,x$$