Интеграл x^2*cos(4*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |   2            
 |  x *cos(4*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x^{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (4 x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 4 x$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \frac{x}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (4 x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 4 x$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{8} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = - \frac{1}{8} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

   1. пусть $u = 4 x$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{4} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{x}{8} \cos{\left (4 x \right )} - \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{x}{8} \cos{\left (4 x \right )} - \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                                   
 |                                    
 |   2               cos(4)   7*sin(4)
 |  x *cos(4*x) dx = ------ + --------
 |                     8         32   
/                                     
0                                     

$${{7\,\sin 4+4\,\cos 4}\over{32}}$$

Численный ответ

-0.247255998456561

Ответ (Неопределённый)

  /                                                        
 |                                  2                      
 |  2                   sin(4*x)   x *sin(4*x)   x*cos(4*x)
 | x *cos(4*x) dx = C - -------- + ----------- + ----------
 |                         32           4            8     
/                                                          

$${{\left(16\,x^2-2\right)\,\sin \left(4\,x\right)+8\,x\,\cos \left(4 \,x\right)}\over{64}}$$

Упростить