Интеграл x^2*cos(4*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
      /               
     |                
     |   2            
     |  x *cos(4*x) dx
     |                
    /                 
    0                 
    01x2cos(4x)dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} и пусть dv(x)=cos(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}.

      Затем du(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. пусть u=4xu = 4 x.

        Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

        cos(u)16du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          cos(u)4du=cos(u)du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Таким образом, результат будет: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=x2u{\left(x \right)} = \frac{x}{2} и пусть dv(x)=sin(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

      Затем du(x)=12\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}.

      Чтобы найти v(x)v{\left(x \right)}:

      1. пусть u=4xu = 4 x.

        Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

        sin(u)16du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          sin(u)4du=sin(u)du4\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Таким образом, результат будет: cos(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        cos(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

      Теперь решаем под-интеграл.

    3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      (cos(4x)8)dx=cos(4x)dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

      1. пусть u=4xu = 4 x.

        Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

        cos(u)16du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          cos(u)4du=cos(u)du4\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Таким образом, результат будет: sin(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        sin(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      Таким образом, результат будет: sin(4x)32- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2sin(4x)4+xcos(4x)8sin(4x)32+constant\frac{x^{2} \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{x \cos{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x2sin(4x)4+xcos(4x)8sin(4x)32+constant\frac{x^{2} \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{x \cos{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
    Ответ [src]
    cos(4)   7*sin(4)
    ------ + --------
      8         32   
    7sin(4)32+cos(4)8\frac{7 \sin{\left(4 \right)}}{32} + \frac{\cos{\left(4 \right)}}{8}
    =
    =
    cos(4)   7*sin(4)
    ------ + --------
      8         32   
    7sin(4)32+cos(4)8\frac{7 \sin{\left(4 \right)}}{32} + \frac{\cos{\left(4 \right)}}{8}
    Численный ответ [src]
    -0.247255998456561
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                        
     |                                  2                      
     |  2                   sin(4*x)   x *sin(4*x)   x*cos(4*x)
     | x *cos(4*x) dx = C - -------- + ----------- + ----------
     |                         32           4            8     
    /                                                          
    x2cos(4x)dx=C+x2sin(4x)4+xcos(4x)8sin(4x)32\int x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{x \cos{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}
    График
    Интеграл x^2*cos(4*x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/5/80/b9134b834079a89fce343f12f6906.png