Интеграл dx/(3*x+2)^4 (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1              
  /              
 |               
 |      1        
 |  ---------- dx
 |           4   
 |  (3*x + 2)    
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(3 x + 2\right)^{4}}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(3 x + 2\right)^{4}} = \frac{1}{\left(3 x + 2\right)^{4}}$

   2. пусть $u = 3 x + 2$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{9 u^{3}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{9 \left(3 x + 2\right)^{3}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(3 x + 2\right)^{4}} = \frac{1}{81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16} = \frac{1}{\left(3 x + 2\right)^{4}}$

   3. пусть $u = 3 x + 2$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{9 u^{3}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{9 \left(3 x + 2\right)^{3}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{9 \left(3 x + 2\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{9 \left(3 x + 2\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                     
  /                     
 |                      
 |      1            13 
 |  ---------- dx = ----
 |           4      1000
 |  (3*x + 2)           
 |                      
/                       
0                       

$${{13}\over{1000}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

0.013

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                
 |                                 
 |     1                    1      
 | ---------- dx = C - ------------
 |          4                     3
 | (3*x + 2)           9*(2 + 3*x) 
 |                                 
/                                  

$$-{{1}\over{9\,\left(3\,x+2\right)^3}}$$

Упростить