Интеграл (12-2*x)^3 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |            3   
 |  (12 - 2*x)  dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(- 2 x + 12\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 2 x + 12$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{3}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{8} \left(- 2 x + 12\right)^{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- 2 x + 12\right)^{3} = - 8 x^{3} + 144 x^{2} - 864 x + 1728$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 8 x^{3}\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 144 x^{2}\, dx = 144 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $48 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 864 x\, dx = - 864 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 432 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1728\, dx = 1728 x$

      Результат есть: $- 2 x^{4} + 48 x^{3} - 432 x^{2} + 1728 x$

2. Теперь упростить:

   $- 2 \left(x - 6\right)^{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 2 \left(x - 6\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- 2 \left(x - 6\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |            3          
 |  (12 - 2*x)  dx = 1342
 |                       
/                        
0                        

$$1342$$

Численный ответ

1342.0

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                                4
 |           3          (12 - 2*x) 
 | (12 - 2*x)  dx = C - -----------
 |                           8     
/                                  

$$-2\,x^4+48\,x^3-432\,x^2+1728\,x$$