Интеграл (sin(x)^2)*(cos(x)^4) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                   
      /                   
     |                    
     |     2       4      
     |  sin (x)*cos (x) dx
     |                    
    /                     
    0                     
    $$\int_{0}^{1} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

            2. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интегрируем почленно:

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть :

                  Таким образом, результат будет:

                1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                Результат есть:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

            2. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. пусть .

                  Тогда пусть и подставим :

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                    1. Интеграл от косинуса есть синус:

                    Таким образом, результат будет:

                  Если сейчас заменить ещё в:

                Таким образом, результат будет:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Результат есть:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть :

                Таким образом, результат будет:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Результат есть:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            Результат есть:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Результат есть:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                                                                          
      /                                                                          
     |                               5                                3          
     |     2       4         1    cos (1)*sin(1)   cos(1)*sin(1)   cos (1)*sin(1)
     |  sin (x)*cos (x) dx = -- - -------------- + ------------- + --------------
     |                       16         6                16              24      
    /                                                                            
    0                                                                            
    $$-{{3\,\sin 4-4\,\sin ^32-12}\over{192}}$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    0.0899881003364571
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                                                  
     |                                             3     
     |    2       4             sin(4*x)   x    sin (2*x)
     | sin (x)*cos (x) dx = C - -------- + -- + ---------
     |                             64      16       48   
    /                                                    
    $${{{{2\,x-{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}}\over{4}}+{{\sin ^3 \left(2\,x\right)}\over{6}}}\over{8}}$$