Интеграл 1/(e^x*(3+e^(-x))) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |       1         
     |  ------------ dx
     |   x /     -x\   
     |  E *\3 + E  /   
     |                 
    /                  
    0                  
    011ex(3+ex)dx\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x} \left(3 + e^{- x}\right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=ex(3+ex)u = e^{x} \left(3 + e^{- x}\right).

        Тогда пусть du=((3+ex)ex1)dxdu = \left(\left(3 + e^{- x}\right) e^{x} - 1\right) dx и подставим dudu:

        1u2udu\int \frac{1}{u^{2} - u}\, du

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          1u2u=1u11u\frac{1}{u^{2} - u} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}

        2. Интегрируем почленно:

          1. пусть u=u1u = u - 1.

            Тогда пусть du=dudu = du и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(u1)\log{\left (u - 1 \right )}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1udu=1udu\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Таким образом, результат будет: log(u)- \log{\left (u \right )}

          Результат есть: log(u)+log(u1)- \log{\left (u \right )} + \log{\left (u - 1 \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log(ex(3+ex))+log(ex(3+ex)1)- \log{\left (e^{x} \left(3 + e^{- x}\right) \right )} + \log{\left (e^{x} \left(3 + e^{- x}\right) - 1 \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        1ex(3+ex)=13ex+1\frac{1}{e^{x} \left(3 + e^{- x}\right)} = \frac{1}{3 e^{x} + 1}

      2. пусть u=exu = e^{x}.

        Тогда пусть du=exdxdu = e^{x} dx и подставим dudu:

        1u(3u+1)du\int \frac{1}{u \left(3 u + 1\right)}\, du

        1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1u(3u+1)=33u+1+1u\frac{1}{u \left(3 u + 1\right)} = - \frac{3}{3 u + 1} + \frac{1}{u}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              33u+1du=313u+1du\int - \frac{3}{3 u + 1}\, du = - 3 \int \frac{1}{3 u + 1}\, du

              1. пусть u=3u+1u = 3 u + 1.

                Тогда пусть du=3dudu = 3 du и подставим du3\frac{du}{3}:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1udu=131udu\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du

                  1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                  Таким образом, результат будет: 13log(u)\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                13log(3u+1)\frac{1}{3} \log{\left (3 u + 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: log(3u+1)- \log{\left (3 u + 1 \right )}

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Результат есть: log(u)log(3u+1)\log{\left (u \right )} - \log{\left (3 u + 1 \right )}

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1u(3u+1)=13u2+u\frac{1}{u \left(3 u + 1\right)} = \frac{1}{3 u^{2} + u}

          2. Перепишите подынтегральное выражение:

            13u2+u=33u+1+1u\frac{1}{3 u^{2} + u} = - \frac{3}{3 u + 1} + \frac{1}{u}

          3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              33u+1du=313u+1du\int - \frac{3}{3 u + 1}\, du = - 3 \int \frac{1}{3 u + 1}\, du

              1. пусть u=3u+1u = 3 u + 1.

                Тогда пусть du=3dudu = 3 du и подставим du3\frac{du}{3}:

                1udu\int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1udu=131udu\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du

                  1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                  Таким образом, результат будет: 13log(u)\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}

                Если сейчас заменить uu ещё в:

                13log(3u+1)\frac{1}{3} \log{\left (3 u + 1 \right )}

              Таким образом, результат будет: log(3u+1)- \log{\left (3 u + 1 \right )}

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Результат есть: log(u)log(3u+1)\log{\left (u \right )} - \log{\left (3 u + 1 \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log(3ex+1)+log(ex)- \log{\left (3 e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}

    2. Теперь упростить:

      log(3ex+1)+log(3ex)- \log{\left (3 e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (3 e^{x} \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      log(3ex+1)+log(3ex)+constant- \log{\left (3 e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (3 e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    log(3ex+1)+log(3ex)+constant- \log{\left (3 e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (3 e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2010
    Ответ [src]
      1                                          
      /                                          
     |                                           
     |       1                 /     -1\         
     |  ------------ dx = - log\3 + e  / + log(4)
     |   x /     -x\                             
     |  E *\3 + E  /                             
     |                                           
    /                                            
    0                                            
    log4logElog(3E+1E)logE{{\log 4}\over{\log E}}-{{\log \left({{\left| 3\,E+1\right| }\over{ \left| E\right| }}\right)}\over{\log E}}
    Численный ответ [src]
    0.17201106075713
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                
     |                                                                 
     |      1                   / x /     -x\\      /      x /     -x\\
     | ------------ dx = C - log\E *\3 + E  // + log\-1 + E *\3 + E  //
     |  x /     -x\                                                    
     | E *\3 + E  /                                                    
     |                                                                 
    /                                                                  
    log(1Ex+3)logE-{{\log \left({{1}\over{E^{x}}}+3\right)}\over{\log E}}