Интеграл 1/(e^x*(3+e^(-x))) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                
      /                
     |                 
     |       1         
     |  ------------ dx
     |   x /     -x\   
     |  E *\3 + E  /   
     |                 
    /                  
    0                  
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x} \left(3 + e^{- x}\right)}\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть .

            Если сейчас заменить ещё в:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть .

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть .

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. Интеграл есть .

            Результат есть:

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Перепишите подынтегральное выражение:

          3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть .

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. Интеграл есть .

            Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                                          
      /                                          
     |                                           
     |       1                 /     -1\         
     |  ------------ dx = - log\3 + e  / + log(4)
     |   x /     -x\                             
     |  E *\3 + E  /                             
     |                                           
    /                                            
    0                                            
    $${{\log 4}\over{\log E}}-{{\log \left({{\left| 3\,E+1\right| }\over{ \left| E\right| }}\right)}\over{\log E}}$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    0.17201106075713
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                                                                
     |                                                                 
     |      1                   / x /     -x\\      /      x /     -x\\
     | ------------ dx = C - log\E *\3 + E  // + log\-1 + E *\3 + E  //
     |  x /     -x\                                                    
     | E *\3 + E  /                                                    
     |                                                                 
    /                                                                  
    $$-{{\log \left({{1}\over{E^{x}}}+3\right)}\over{\log E}}$$