Интеграл 1/(e^x*(3+e^(-x))) (dx)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                
  /                
 |                 
 |       1         
 |  ------------ dx
 |   x /     -x\   
 |  E *\3 + E  /   
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x} \left(3 + e^{- x}\right)}\, dx$$

Подробное решение

[TeX]

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{x} \left(3 + e^{- x}\right)$.

      Тогда пусть $du = \left(\left(3 + e^{- x}\right) e^{x} - 1\right) dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{2} - u}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u^{2} - u} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = u - 1$.

            Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (u - 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $- \log{\left (u \right )} + \log{\left (u - 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left (e^{x} \left(3 + e^{- x}\right) \right )} + \log{\left (e^{x} \left(3 + e^{- x}\right) - 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{e^{x} \left(3 + e^{- x}\right)} = \frac{1}{3 e^{x} + 1}$

   2. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u \left(3 u + 1\right)}\, du$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u \left(3 u + 1\right)} = - \frac{3}{3 u + 1} + \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{3}{3 u + 1}\, du = - 3 \int \frac{1}{3 u + 1}\, du$

               1. пусть $u = 3 u + 1$.

                  Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \log{\left (3 u + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (3 u + 1 \right )}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Результат есть: $\log{\left (u \right )} - \log{\left (3 u + 1 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u \left(3 u + 1\right)} = \frac{1}{3 u^{2} + u}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{3 u^{2} + u} = - \frac{3}{3 u + 1} + \frac{1}{u}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{3}{3 u + 1}\, du = - 3 \int \frac{1}{3 u + 1}\, du$

               1. пусть $u = 3 u + 1$.

                  Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \log{\left (3 u + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (3 u + 1 \right )}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Результат есть: $\log{\left (u \right )} - \log{\left (3 u + 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left (3 e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \log{\left (3 e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (3 e^{x} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (3 e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (3 e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (3 e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (3 e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  1                                          
  /                                          
 |                                           
 |       1                 /     -1\         
 |  ------------ dx = - log\3 + e  / + log(4)
 |   x /     -x\                             
 |  E *\3 + E  /                             
 |                                           
/                                            
0                                            

$${{\log 4}\over{\log E}}-{{\log \left({{\left| 3\,E+1\right| }\over{ \left| E\right| }}\right)}\over{\log E}}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

0.17201106075713

Ответ (Неопределённый)

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                                
 |                                                                 
 |      1                   / x /     -x\\      /      x /     -x\\
 | ------------ dx = C - log\E *\3 + E  // + log\-1 + E *\3 + E  //
 |  x /     -x\                                                    
 | E *\3 + E  /                                                    
 |                                                                 
/                                                                  

$$-{{\log \left({{1}\over{E^{x}}}+3\right)}\over{\log E}}$$

Упростить