Интеграл 2*x*e^(-x^2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
      /            
     |             
     |         2   
     |       -x    
     |  2*x*E    dx
     |             
    /              
    0              
    01ex22xdx\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} \cdot 2 x\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x2u = - x^{2}.

        Тогда пусть du=2xdxdu = - 2 x dx и подставим du- du:

        eudu\int e^{u}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          eudu=eudu\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Таким образом, результат будет: eu- e^{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        ex2- e^{- x^{2}}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        ex22x=2xex2e^{- x^{2}} \cdot 2 x = 2 x e^{- x^{2}}

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        2xex2dx=2xex2dx\int 2 x e^{- x^{2}}\, dx = 2 \int x e^{- x^{2}}\, dx

        1. пусть u=x2u = - x^{2}.

          Тогда пусть du=2xdxdu = - 2 x dx и подставим du2- \frac{du}{2}:

          eudu\int e^{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            eudu=12eudu\int e^{u}\, du = - \frac{1}{2} \int e^{u}\, du

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Таким образом, результат будет: eu2- \frac{e^{u}}{2}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          ex22- \frac{e^{- x^{2}}}{2}

        Таким образом, результат будет: ex2- e^{- x^{2}}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      ex2+constant- e^{- x^{2}}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    ex2+constant- e^{- x^{2}}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-10102-2
    Ответ [src]
      1                      
      /                      
     |                       
     |         2             
     |       -x            -1
     |  2*x*E    dx = 1 - e  
     |                       
    /                        
    0                        
    2(12logE12ElogE)2\,\left({{1}\over{2\,\log E}}-{{1}\over{2\,E\,\log E}}\right)
    Численный ответ [src]
    0.632120558828558
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                      
     |                       
     |        2             2
     |      -x            -x 
     | 2*x*E    dx = C - e   
     |                       
    /                        
    1Ex2logE-{{1}\over{E^{x^2}\,\log E}}