Интеграл 2*x*e^(-x^2) (dx)

  1            
  /            
 |             
 |         2   
 |       -x    
 |  2*x*E    dx
 |             
/              
0              

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x^{2}$.

      Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- e^{- x^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- x^{2}} \cdot 2 x = 2 x e^{- x^{2}}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 x e^{- x^{2}}\, dx = 2 \int x e^{- x^{2}}\, dx$

      1. пусть $u = - x^{2}$.

         Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{e^{- x^{2}}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- e^{- x^{2}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- e^{- x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- e^{- x^{2}}+ \mathrm{constant}$

  1                      
  /                      
 |                       
 |         2             
 |       -x            -1
 |  2*x*E    dx = 1 - e  
 |                       
/                        
0                        

0.632120558828558

  /                      
 |                       
 |        2             2
 |      -x            -x 
 | 2*x*E    dx = C - e   
 |                       
/