Интеграл asin(x)^(4)/sqrt(1-x^2) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |        4       
 |    asin (x)    
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  1 - x     
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{asin}^{4}{\left (x \right )}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \operatorname{asin}{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ и подставим $du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{5} \operatorname{asin}^{5}{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\operatorname{asin}^{4}{\left (x \right )}}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = \frac{\operatorname{asin}^{4}{\left (x \right )}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

   2. пусть $u = \operatorname{asin}{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ и подставим $du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{5} \operatorname{asin}^{5}{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{5} \operatorname{asin}^{5}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{5} \operatorname{asin}^{5}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |        4            5
 |    asin (x)       pi 
 |  ----------- dx = ---
 |     ________      160
 |    /      2          
 |  \/  1 - x           
 |                      
/                       
0                       

$${{\pi^5}\over{160}}$$

Численный ответ

1.91262302762432

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |       4                  5   
 |   asin (x)           asin (x)
 | ----------- dx = C + --------
 |    ________             5    
 |   /      2                   
 | \/  1 - x                    
 |                              
/                               

$${{\arcsin ^5x}\over{5}}$$