Интеграл (e^x+1)^3 (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1             
      /             
     |              
     |          3   
     |  / x    \    
     |  \E  + 1/  dx
     |              
    /               
    0               
    $$\int_{0}^{1} \left(e^{x} + 1\right)^{3}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Результат есть:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                      
      /                                      
     |                                       
     |          3                    3      2
     |  / x    \         23         e    3*e 
     |  \E  + 1/  dx = - -- + 3*E + -- + ----
     |                   6          3     2  
    /                                        
    0                                        
    $${{6\,\log E+2\,E^3+9\,E^2+18\,E}\over{6\,\log E}}-{{29}\over{6\, \log E}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    22.1002752748357
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                           
     |                                            
     |         3                      3*x      2*x
     | / x    \                  x   e      3*e   
     | \E  + 1/  dx = C + x + 3*e  + ---- + ------
     |                                3       2   
    /                                             
    $$x+{{E^{3\,x}}\over{3\,\log E}}+{{3\,E^{2\,x}}\over{2\,\log E}}+{{3 \,E^{x}}\over{\log E}}$$