Интеграл dx/(x^2+5) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1          
      /          
     |           
     |    1      
     |  ------ dx
     |   2       
     |  x  + 5   
     |           
    /            
    0            
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 5}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /         
     |          
     |   1      
     | ------ dx
     |  2       
     | x  + 5   
     |          
    /           
    Перепишем подинтегральную функцию
      1               1          
    ------ = --------------------
     2         /           2    \
    x  + 5     |/   ___   \     |
               ||-\/ 5    |     |
             5*||-------*x|  + 1|
               \\   5     /     /
    или
      /           
     |            
     |   1        
     | ------ dx  
     |  2        =
     | x  + 5     
     |            
    /             
      
      /                   
     |                    
     |        1           
     | ---------------- dx
     |            2       
     | /   ___   \        
     | |-\/ 5    |        
     | |-------*x|  + 1   
     | \   5     /        
     |                    
    /                     
    ----------------------
              5           
    В интеграле
      /                   
     |                    
     |        1           
     | ---------------- dx
     |            2       
     | /   ___   \        
     | |-\/ 5    |        
     | |-------*x|  + 1   
     | \   5     /        
     |                    
    /                     
    ----------------------
              5           
    сделаем замену
             ___ 
        -x*\/ 5  
    v = ---------
            5    
    тогда
    интеграл =
      /                   
     |                    
     |   1                
     | ------ dv          
     |      2             
     | 1 + v              
     |                    
    /              atan(v)
    ------------ = -------
         5            5   
    делаем обратную замену
      /                                         
     |                                          
     |        1                                 
     | ---------------- dx                      
     |            2                             
     | /   ___   \                              
     | |-\/ 5    |                              
     | |-------*x|  + 1                /    ___\
     | \   5     /             ___     |x*\/ 5 |
     |                       \/ 5 *atan|-------|
    /                                  \   5   /
    ---------------------- = -------------------
              5                       5         
    Решением будет:
                  /    ___\
          ___     |x*\/ 5 |
        \/ 5 *atan|-------|
                  \   5   /
    C + -------------------
                 5         
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                       /  ___\
      /               ___     |\/ 5 |
     |              \/ 5 *atan|-----|
     |    1                   \  5  /
     |  ------ dx = -----------------
     |   2                  5        
     |  x  + 5                       
     |                               
    /                                
    0                                
    $${{\arctan \left({{1}\over{\sqrt{5}}}\right)}\over{\sqrt{5}}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.188068672113527
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
                                 /    ___\
      /                  ___     |x*\/ 5 |
     |                 \/ 5 *atan|-------|
     |   1                       \   5   /
     | ------ dx = C + -------------------
     |  2                       5         
     | x  + 5                             
     |                                    
    /                                     
    $${{\arctan \left({{x}\over{\sqrt{5}}}\right)}\over{\sqrt{5}}}$$